Построй схему смены знаков и реши неравенство (x-2)³(x + 1) < 0 3-x Определи точки, где числитель или знаменатель обращаются в нуль

Решим данное неравенство методом интервалов.

1. Найдем нули числителя и знаменателя:

• $$(x - 2)^3(x + 1) = 0$$
• $$(x - 2)^3 = 0$$ или $$(x + 1) = 0$$
• $$x = 2$$ или $$x = -1$$
• $$3 - x = 0$$
• $$x = 3$$

2. Отметим полученные точки на числовой прямой. Точки -1 и 2 отметим закрашенными, так как неравенство нестрогое. Точку 3 отметим выколотой, так как на нее делить нельзя.

--------------------------------------------------
                                  
          -1             2             3          
----|-----------|-----------|-----------|---->

3. Расставим знаки на полученных интервалах.

• $$x < -1$$, например, $$x = -2$$. Тогда $$\frac{(-2-2)^3(-2+1)}{3-(-2)} = \frac{(-4)^3(-1)}{5} = \frac{-64 \cdot (-1)}{5} = \frac{64}{5} > 0$$. Ставим знак + на интервале $$(-\infty; -1)$$.
• $$-1 < x < 2$$, например, $$x = 0$$. Тогда $$\frac{(0-2)^3(0+1)}{3-0} = \frac{(-2)^3(1)}{3} = \frac{-8}{3} < 0$$. Ставим знак - на интервале $$(-1; 2)$$.
• $$2 < x < 3$$, например, $$x = 2.5$$. Тогда $$\frac{(2.5-2)^3(2.5+1)}{3-2.5} = \frac{(0.5)^3(3.5)}{0.5} = (0.5)^2(3.5) > 0$$. Ставим знак + на интервале $$(2; 3)$$.
• $$x > 3$$, например, $$x = 4$$. Тогда $$\frac{(4-2)^3(4+1)}{3-4} = \frac{2^3 \cdot 5}{-1} = -40 < 0$$. Ставим знак - на интервале $$(3; +\infty)$$.

--------------------------------------------------
        +      -      +      -                   
          -1             2             3          
----|-----------|-----------|-----------|---->

4. Выберем интервалы, где функция принимает отрицательные значения, так как неравенство < 0.

5. Запишем ответ.

Ответ: (-1; 2) ∪ (3; +∞)