Построй график функции $$y = \frac{x^4 + 3x^2 - 4}{x^2 - 1}$$ и укажи наибольшее значение $$m$$, при котором прямая $$y = m$$ не имеет общих точек с графиком функции. Запиши ответ в виде десятичной дроби, если у тебя получилось дробное число.

Решение:

Сначала упростим функцию:

• Знаменатель $$x^2 - 1$$ обращается в ноль при $$x = 1$$ и $$x = -1$$. Эти значения не входят в область определения функции.
• Разложим числитель на множители: $$x^4 + 3x^2 - 4 = (x^2 + 4)(x^2 - 1)$$.
• Сократим дробь: $$y = \frac{(x^2 + 4)(x^2 - 1)}{x^2 - 1} = x^2 + 4$$.

Таким образом, график функции $$y = \frac{x^4 + 3x^2 - 4}{x^2 - 1}$$ совпадает с графиком параболы $$y = x^2 + 4$$, но с выколотыми точками при $$x = 1$$ и $$x = -1$$.

Найдем значения функции в этих точках:

• При $$x = 1$$, $$y = 1^2 + 4 = 5$$. Точка (1; 5) выколота.
• При $$x = -1$$, $$y = (-1)^2 + 4 = 5$$. Точка (-1; 5) выколота.

График функции — это парабола $$y = x^2 + 4$$ с вершиной в точке (0; 4) и двумя выколотыми точками (1; 5) и (-1; 5).

Прямая $$y = m$$ не имеет общих точек с графиком функции, если она проходит через выколотые точки. Наибольшее значение $$m$$, при котором это происходит, равно 5.

Ответ: 5.0