Построить множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению: |y| + |x - 3| = 2

Решение:

Данное уравнение представляет собой сумму модулей, равную константе. Это уравнение ромба.

Рассмотрим уравнение \( |y| + |x - 3| = 2 \) в системе координат.

Уравнение можно переписать как \( |x - 3| + |y| = 2 \).

Это означает, что расстояние от точки \( (x, y) \) до точки \( (3, 0) \) по оси x, плюс расстояние от точки \( (x, y) \) до оси x (т.е. \( |y| \)), равно 2.

Раскроем модули, рассматривая 4 случая:

1. Случай 1: \( x - 3 ≥ 0 \) (т.е. \( x ≥ 3 \)) и \( y ≥ 0 \).
   \( (x - 3) + y = 2 \) \( → y = -x + 5 \)
2. Случай 2: \( x - 3 < 0 \) (т.е. \( x < 3 \)) и \( y ≥ 0 \).
   \( -(x - 3) + y = 2 \) \( → -x + 3 + y = 2 \) \( → y = x - 1 \)
3. Случай 3: \( x - 3 ≥ 0 \) (т.е. \( x ≥ 3 \)) и \( y < 0 \).
   \( (x - 3) - y = 2 \) \( → -y = -x + 5 \) \( → y = x - 5 \)
4. Случай 4: \( x - 3 < 0 \) (т.е. \( x < 3 \)) и \( y < 0 \).
   \( -(x - 3) - y = 2 \) \( → -x + 3 - y = 2 \) \( → -y = x - 1 \) \( → y = -x + 1 \)

Эти четыре уравнения описывают стороны ромба.

Вершины ромба:

• При \( x = 3 \) (в Случае 1 и 3): \( y = -3 + 5 = 2 \) и \( y = 3 - 5 = -2 \). Точки: \( (3, 2) \) и \( (3, -2) \).
• При \( y = 0 \) (в Случае 2 и 4): \( 0 = x - 1 → x = 1 \) и \( 0 = -x + 1 → x = 1 \). Точка: \( (1, 0) \).
• При \( x = 3 \) (в Случае 2 и 4, но мы уже рассмотрели \( x = 3 \) для \( y \)):
• При \( y = 0 \) (в Случае 1 и 3): \( 0 = -x + 5 → x = 5 \) и \( 0 = x - 5 → x = 5 \). Точка: \( (5, 0) \).

Следовательно, вершины ромба находятся в точках \( (3, 2), (1, 0), (3, -2), (5, 0) \).

Графиком данного уравнения является ромб с центром в точке \( (3, 0) \) и вершинами в указанных точках.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих уравнению, — это ромб с вершинами в точках (1, 0), (3, 2), (5, 0) и (3, -2).