Построить графики и исследовать функции: а) y=1/(x−1); б) y=(x−1)³.

а) Функция \(y=\frac{1}{x-1}\)

1. Знаменатель не должен быть равен нулю: \(x-1\ne0\), поэтому область определения — все действительные числа, кроме \(1\).
2. Числитель не равен нулю, поэтому нулей у функции нет. При \(x<1\) знаменатель отрицателен и \(y<0\); при \(x>1\) знаменатель положителен и \(y>0\).
3. Производная \(y'=-\frac{1}{(x-1)^2}<0\) на обеих частях области определения. Функция убывает на \((-\infty,1)\) и \((1,+\infty)\); экстремумов нет.
4. Значение \(y=0\) недостижимо, поэтому область значений — все действительные числа, кроме \(0\). Прямая \(x=1\) — вертикальная асимптота, \(y=0\) — горизонтальная. График — гипербола с центром симметрии \((1,0)\).

б) Функция \(y=(x-1)^3\)

1. Кубический многочлен определён при любом действительном \(x\), значит область определения — \(\mathbb{R}\).
2. Нуль функции: \((x-1)^3=0\), откуда \(x=1\). При \(x<1\) функция отрицательна, при \(x>1\) положительна.
3. Производная \(y'=3(x-1)^2\ge0\), поэтому функция возрастает на всей числовой прямой; строгая монотонность также сохраняется. Экстремумов нет.
4. Область значений — \(\mathbb{R}\). График получен сдвигом графика \(y=x^3\) на 1 вправо; точка перегиба и центр симметрии графика — \((1,0)\). Асимптот нет.