Построить график функции и по графику: 1) найти значения х, при которых значения функции положительны; отрицательны; 2) найти промежутки возрастания и убывания функции; 3) выяснить, при каком значении х функция принимает наибольшее или наименьшее значение; найти его (624-625). 624. 1) y = x² - 7x + 10; 3) y=-x²+6x-9; 625. 1) y=4x² + 4x -3; 3) y=-2x²+ 3x + 2; 2) y=-x²+x+2; 4) y = x²+4x+5. 2) y=-3x²-2x+1; 4) y=3x²-8x+4;

Для решения данного задания необходимо построить графики функций и проанализировать их. Так как построить графики не представляется возможным, опишу алгоритм действий и основные моменты анализа.

624.

1. y = x² - 7x + 10

Графиком является парабола, ветви направлены вверх, так как коэффициент при x² положительный.

• Найдем нули функции, решив уравнение x² - 7x + 10 = 0.
• Разложим квадратный трехчлен на множители: (x - 2)(x - 5) = 0.
• Корни: x₁ = 2, x₂ = 5.
• Функция положительна при x < 2 и x > 5, отрицательна при 2 < x < 5.
• Вершина параболы: x₀ = -(-7) / (2 * 1) = 3.5, y₀ = (3.5)² - 7 * 3.5 + 10 = -2.25.
• Функция убывает на промежутке (-∞; 3.5], возрастает на промежутке [3.5; +∞).
• Наименьшее значение функции y = -2.25 при x = 3.5.
2. y = -x² + x + 2

Графиком является парабола, ветви направлены вниз, так как коэффициент при x² отрицательный.

• Найдем нули функции, решив уравнение -x² + x + 2 = 0.
• Умножим на -1: x² - x - 2 = 0.
• Корни: x₁ = -1, x₂ = 2.
• Функция положительна при -1 < x < 2, отрицательна при x < -1 и x > 2.
• Вершина параболы: x₀ = -1 / (2 * (-1)) = 0.5, y₀ = -(0.5)² + 0.5 + 2 = 2.25.
• Функция возрастает на промежутке (-∞; 0.5], убывает на промежутке [0.5; +∞).
• Наибольшее значение функции y = 2.25 при x = 0.5.
3. y = -x² + 6x - 9

Графиком является парабола, ветви направлены вниз, так как коэффициент при x² отрицательный.

• Найдем нули функции, решив уравнение -x² + 6x - 9 = 0.
• Умножим на -1: x² - 6x + 9 = 0.
• (x - 3)² = 0.
• Корень: x = 3.
• Функция отрицательна при x ≠ 3.
• Вершина параболы: x₀ = -6 / (2 * (-1)) = 3, y₀ = -(3)² + 6 * 3 - 9 = 0.
• Функция возрастает на промежутке (-∞; 3], убывает на промежутке [3; +∞).
• Наибольшее значение функции y = 0 при x = 3.
4. y = x² + 4x + 5

Графиком является парабола, ветви направлены вверх, так как коэффициент при x² положительный.

• Найдем нули функции, решив уравнение x² + 4x + 5 = 0.
• Дискриминант: D = 4² - 4 * 1 * 5 = 16 - 20 = -4.
• Так как дискриминант отрицательный, нулей нет.
• Функция положительна при всех x.
• Вершина параболы: x₀ = -4 / (2 * 1) = -2, y₀ = (-2)² + 4 * (-2) + 5 = 1.
• Функция убывает на промежутке (-∞; -2], возрастает на промежутке [-2; +∞).
• Наименьшее значение функции y = 1 при x = -2.

625.

1. y = 4x² + 4x - 3

Графиком является парабола, ветви направлены вверх, так как коэффициент при x² положительный.

• Найдем нули функции, решив уравнение 4x² + 4x - 3 = 0.
• D = 4² - 4 * 4 * (-3) = 16 + 48 = 64.
• Корни: x₁ = (-4 - √64) / (2 * 4) = (-4 - 8) / 8 = -1.5, x₂ = (-4 + √64) / (2 * 4) = (-4 + 8) / 8 = 0.5.
• Функция положительна при x < -1.5 и x > 0.5, отрицательна при -1.5 < x < 0.5.
• Вершина параболы: x₀ = -4 / (2 * 4) = -0.5, y₀ = 4 * (-0.5)² + 4 * (-0.5) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4.
• Функция убывает на промежутке (-∞; -0.5], возрастает на промежутке [-0.5; +∞).
• Наименьшее значение функции y = -4 при x = -0.5.
2. y = -3x² - 2x + 1

Графиком является парабола, ветви направлены вниз, так как коэффициент при x² отрицательный.

• Найдем нули функции, решив уравнение -3x² - 2x + 1 = 0.
• Умножим на -1: 3x² + 2x - 1 = 0.
• D = 2² - 4 * 3 * (-1) = 4 + 12 = 16.
• Корни: x₁ = (-2 - √16) / (2 * 3) = (-2 - 4) / 6 = -1, x₂ = (-2 + √16) / (2 * 3) = (-2 + 4) / 6 = 1/3.
• Функция положительна при -1 < x < 1/3, отрицательна при x < -1 и x > 1/3.
• Вершина параболы: x₀ = -(-2) / (2 * (-3)) = -1/3, y₀ = -3 * (-1/3)² - 2 * (-1/3) + 1 = -1/3 + 2/3 + 1 = 4/3.
• Функция возрастает на промежутке (-∞; -1/3], убывает на промежутке [-1/3; +∞).
• Наибольшее значение функции y = 4/3 при x = -1/3.
3. y = -2x² + 3x + 2

Графиком является парабола, ветви направлены вниз, так как коэффициент при x² отрицательный.

• Найдем нули функции, решив уравнение -2x² + 3x + 2 = 0.
• Умножим на -1: 2x² - 3x - 2 = 0.
• D = (-3)² - 4 * 2 * (-2) = 9 + 16 = 25.
• Корни: x₁ = (3 - √25) / (2 * 2) = (3 - 5) / 4 = -0.5, x₂ = (3 + √25) / (2 * 2) = (3 + 5) / 4 = 2.
• Функция положительна при -0.5 < x < 2, отрицательна при x < -0.5 и x > 2.
• Вершина параболы: x₀ = -3 / (2 * (-2)) = 3/4 = 0.75, y₀ = -2 * (0.75)² + 3 * 0.75 + 2 = -2 * 9/16 + 9/4 + 2 = -9/8 + 18/8 + 16/8 = 25/8 = 3.125.
• Функция возрастает на промежутке (-∞; 0.75], убывает на промежутке [0.75; +∞).
• Наибольшее значение функции y = 3.125 при x = 0.75.
4. y = 3x² - 8x + 4

Графиком является парабола, ветви направлены вверх, так как коэффициент при x² положительный.

• Найдем нули функции, решив уравнение 3x² - 8x + 4 = 0.
• D = (-8)² - 4 * 3 * 4 = 64 - 48 = 16.
• Корни: x₁ = (8 - √16) / (2 * 3) = (8 - 4) / 6 = 2/3, x₂ = (8 + √16) / (2 * 3) = (8 + 4) / 6 = 2.
• Функция положительна при x < 2/3 и x > 2, отрицательна при 2/3 < x < 2.
• Вершина параболы: x₀ = -(-8) / (2 * 3) = 8/6 = 4/3, y₀ = 3 * (4/3)² - 8 * (4/3) + 4 = 3 * 16/9 - 32/3 + 12/3 = 16/3 - 32/3 + 12/3 = -4/3.
• Функция убывает на промежутке (-∞; 4/3], возрастает на промежутке [4/3; +∞).
• Наименьшее значение функции y = -4/3 при x = 4/3.

Ответ: Анализ графиков функций выполнен.