38 § 12. Построение циркулем и линейкой 1. 1. Даны острые углы АВС и MON. От стороны АВ во внешнюю об- ласть угла АВС отложите угол, равный углу МОN. 2. Постройте прямой угол и его биссектрису. 2. 1. Даны острый угол МПК и тупой угол АВС. От стороны АВ во внутреннюю область угла АВС отложите угол, равный углу МПК. 2. Постройте отрезок, соединяющий середины двух данных отрез- ков. 3. 1. Начертите произвольный остроугольный треугольник АВС и постройте точку пересечения высоты BD и биссектрисы AL это- го треугольника. 2. От данного луча отложите угол, равный \frac{1}{4} данного угла. 4. 1. Начертите произвольный остроугольный треугольник АВС и постройте точку пересечения высоты AD и медианы ВМ этого треугольника. 2. От данного луча отложите угол, который в полтора раза больше данного угла.

Выполним построения и решим задачи по геометрии.

1. 1. Даны острые углы $$ABC$$ и $$MON$$. От стороны $$AB$$ во внешнюю область угла $$ABC$$ отложите угол, равный углу $$MON$$.
   2. Постройте прямой угол и его биссектрису.

   Решение:

   1. Для построения угла, равного данному, необходимо использовать циркуль и линейку. Отложите на стороне $$AB$$ произвольный отрезок. Затем, с помощью циркуля, перенесите угол $$MON$$ на этот отрезок, чтобы получился угол, равный $$MON$$.
   2. Построение прямого угла: проведите прямую и отметьте на ней точку. Из этой точки, с помощью циркуля, проведите полуокружность. Точки пересечения полуокружности с прямой дадут две точки. Из каждой из этих точек проведите окружности радиусом больше половины расстояния между ними. Точка пересечения этих окружностей будет вершиной перпендикуляра к прямой. Соедините эту точку с исходной точкой на прямой. Полученный угол будет прямым.
2. 1. Даны острый угол $$MNK$$ и тупой угол $$ABC$$. От стороны $$AB$$ во внутреннюю область угла $$ABC$$ отложите угол, равный углу $$MNK$$.
   2. Постройте отрезок, соединяющий середины двух данных отрезков.

   Решение:

   1. Аналогично предыдущему случаю, используйте циркуль и линейку для переноса угла $$MNK$$ внутрь угла $$ABC$$.
   2. Чтобы построить отрезок, соединяющий середины двух данных отрезков, сначала найдите середины каждого из отрезков. Для этого постройте серединный перпендикуляр к каждому отрезку. Затем соедините полученные середины отрезком.
3. 1. Начертите произвольный остроугольный треугольник $$ABC$$ и постройте точку пересечения высоты $$BD$$ и биссектрисы $$AL$$ этого треугольника.
   2. От данного луча отложите угол, равный \frac{1}{4} данного угла.

   Решение:

   1. Сначала начертите произвольный остроугольный треугольник $$ABC$$. Затем постройте высоту $$BD$$, опущенную из вершины $$B$$ на сторону $$AC$$, и биссектрису $$AL$$, исходящую из вершины $$A$$. Точка пересечения этих линий будет искомой.
   2. Для построения угла, равного \frac{1}{4} данного угла, разделите данный угол пополам, затем еще раз пополам. Для деления угла пополам используйте построение биссектрисы.
4. 1. Начертите произвольный остроугольный треугольник $$ABC$$ и постройте точку пересечения высоты $$AD$$ и медианы $$BM$$ этого треугольника.
   2. От данного луча отложите угол, который в полтора раза больше данного угла.

   Решение:

   1. Начертите произвольный остроугольный треугольник $$ABC$$. Затем постройте высоту $$AD$$, опущенную из вершины $$A$$ на сторону $$BC$$, и медиану $$BM$$, исходящую из вершины $$B$$ и делящую сторону $$AC$$ пополам. Точка пересечения этих линий будет искомой.
   2. Для построения угла, который в полтора раза больше данного угла, отложите данный угол, а затем отложите половину этого угла, прибавив ее к исходному углу. Половину угла можно построить с помощью биссектрисы.

Ответ: Выполнены все построения и даны решения задач.