Полином Жегалкина — многочлен над полем Z2, то есть полином с коэффициентами вида 0 и 1, где в качестве произведения берётся конъюнкция, а в качестве сложения — исключающее или. Полином был предложен в 1927 году Иваном Жегалкиным в качестве удобного средства для представления функций булевой логики. В зарубежной литературе представление в виде полинома Жегалкина обычно называется алгебраической нормальной формой. Какой вид будет иметь многочлен Жегалкина для функции f(x,y,z) = xỹ v īz?

Решение:

Полином Жегалкина представляет собой функцию булевой логики в виде многочлена с коэффициентами 0 и 1, где произведение — конъюнкция, а сложение — исключающее или.

Нам нужно представить функцию \( f(x,y,z) = x\bar{y} \lor \bar{x}z \) в виде полинома Жегалкина.

1. Разложим дистрибутивный закон: \( a \lor b = a + b + ab \) (где '+' — сложение по модулю 2, то есть исключающее или).
2. Представим отрицание: \( \bar{x} = 1+x \), \( \bar{y} = 1+y \).
3. Подставим в исходную функцию:

\( f(x,y,z) = x(1+y) + (1+x)z + x(1+y)(1+x)z \)

Раскроем скобки:

\( f(x,y,z) = (x + xy) + (z + xz) + xz(1+y+x+xy) \)

\( f(x,y,z) = x + xy + z + xz + xz + xz y + x^2z + x^3z \)

Упростим, учитывая, что \( x^2 = x \) и \( x^n = x \) для \( n \ge 1 \) в поле \( Z_2 \):

\( f(x,y,z) = x + xy + z + xz + xz + xyz + xz + xyz \)

Сгруппируем одинаковые члены ( \( a+a = 0 \) ):

\( f(x,y,z) = x + xy + z + (xz+xz) + xyz + (xz+xyz) \)

\( f(x,y,z) = x + xy + z + 0 + xz + xyz \)

\( f(x,y,z) = x + xy + z + xz + xyz \)

Таким образом, полином Жегалкина для данной функции будет:

\( x \oplus xy \oplus z \oplus xz \oplus xyz \)

(где \( \oplus \) обозначает сложение по модулю 2, или исключающее или).

Ответ: Многочлен Жегалкина для функции \( f(x,y,z) = x\bar{y} \lor \bar{x}z \) имеет вид \( x + xy + z + xz + xyz \).