Подзадача 4 (элементы доступны для перетаскивания) Для уверенности в надежности построенной конструкции следует изучить, как будет колебаться участок троса, расположенный между двумя столбами. Используя формулу Даламбера, рассмотрите задачу о колебаниях провода, жестко закрепленного между опорами, находящимися друг от друга на расстоянии 8 м. Известно, что в начальный момент времени отклонение провода от положения равновесия определено функцией φ(χ) = x/25 - x^2/200, начальная скорость предполагается нулевой. Необходимо определить (в метрах), на какую величину отклонится от положения равновесия провод в точке, расположенной от первого столба на расстоянии 3 м в момент времени t = 5 с, если скорость распространения волн а = 1 м/с. Для решения задачи продолжите данные утверждения, заполнив пропуски верными выражениями. 1. Для рассматриваемого в задаче случая формула Даламбера принимает вид 2. Условия закрепления концов провода имеют вид 3. Функция, задающая начальную форму провода, должна быть продолжена на всю ось 4. Провод в указанной точке и в указанное время отклонится на При решении задания используйте файл 1k1_Pril2.

Ответ: [результат в метрах]

1. Для рассматриваемого случая формула Д'Аламбера принимает вид:

   \[u(x, t) = \frac{1}{2} [\varphi(x + at) + \varphi(x - at)]\]

2. Условия закрепления концов провода:

   \[u(0, t) = 0, \quad u(8, t) = 0\]

3. Функция, задающая начальную форму провода, должна быть продолжена нечетным образом на всю ось:

   \[\varphi(-x) = -\varphi(x)\]

   и периодически с периодом 16:

   \[\varphi(x + 16) = \varphi(x)\]

4. Вычислим отклонение провода в точке x = 3 м в момент времени t = 5 с:

   \[u(3, 5) = \frac{1}{2} [\varphi(3 + 1 \cdot 5) + \varphi(3 - 1 \cdot 5)] = \frac{1}{2} [\varphi(8) + \varphi(-2)]\]

   Так как \(\varphi(8) = 0\) (провод закреплен в точке 8), и \(\varphi(-2) = -\varphi(2)\) (нечетное продолжение):

   \[u(3, 5) = \frac{1}{2} [0 - \varphi(2)] = -\frac{1}{2} \varphi(2)\]

   Подставляем x = 2 в функцию \(\varphi(x) = \frac{x}{25} - \frac{x^2}{200}\):

   \[\varphi(2) = \frac{2}{25} - \frac{2^2}{200} = \frac{2}{25} - \frac{4}{200} = \frac{2}{25} - \frac{1}{50} = \frac{4}{50} - \frac{1}{50} = \frac{3}{50}\]

   Тогда:

   \[u(3, 5) = -\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{50} = -\frac{3}{100} = -0.03\]

   Провод в указанной точке и в указанное время отклонится на -0.03 м.

Ответ: -0.03 м