Подготовка к контрольной работе: №1. Две параллельные прямые т и п, пересечённые секущей к. Известно, что один из углов, образованных секущей и прямой п, равен 125°. Найдите градусную меру остальных углов, образованных секущей. Сделайте чертёж. №2. В треугольнике даны два угла: 56° и 34°. Найдите третий угол треугольника. Определите тип треугольника по углам (остроугольный, прямоугольный, тупоугольный). №3. Параллельные прямые PQ и RS пересекают прямую KL в точках А и В соответственно. Угол KBR равен 140°. Найдите угол РАК. Объясните ход решения. №4. В треугольнике МПК угол М равен 70°, стороны М№ и NK равны. Найдите внешний угол при вершине К. Ответ дайте в градусах. №5. В треугольнике DEF угол EDF равен 42°, DK — биссектриса, угол KFD равен 21°. Найдите величину угла FED. Постройте чертёж и подпишите известные углы. №6. Секущая ХҮ пересекает прямые АВ и CD в точках Р и Q соответственно. Докажите, что прямые АВ и CD параллельны, если известно, что углы APQ и СQP равны. Используйте признаки параллельности прямых, перечислите их в решении.

Ответ: №1: 55°, 125°, 55°. №2: 90°, прямоугольный. №3: 40°. №4: 110°. №5: 96°.

№1

Логика такая:

• Сумма смежных углов равна 180°.
• Вертикальные углы равны.
• Соответственные углы при параллельных прямых и секущей равны.

Если один из углов равен 125°, то смежный с ним угол равен 180° - 125° = 55°.

При пересечении двух параллельных прямых секущей образуются две пары равных углов: 125° и 55°.

Таким образом, остальные углы равны 55°, 125°, 55°.

№2

Разбираемся:

• Сумма углов треугольника равна 180°.

Третий угол треугольника равен 180° - 56° - 34° = 90°.

Так как один из углов треугольника равен 90°, то треугольник прямоугольный.

№3

Смотри, тут всё просто:

• Угол KBR и смежный с ним угол в точке B образуют 180°.
• Соответственные углы при параллельных прямых и секущей равны.

Смежный угол с углом KBR равен 180° - 140° = 40°.

Угол PAK равен смежному углу с углом KBR, так как они соответственные.

Таким образом, угол РАК равен 40°.

№4

Логика такая:

• Сумма углов треугольника равна 180°.
• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
• Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов, не смежных с ним.

Так как стороны MN и NK равны, то треугольник MNK равнобедренный, и углы при основании MN равны.

Угол при основании равен (180° - 70°) / 2 = 55°.

Внешний угол при вершине K равен сумме углов M и N, то есть 70° + 55° = 125°.

№5

Разбираемся:

• Сумма углов треугольника равна 180°.
• Биссектриса делит угол пополам.

Угол DKF равен 21°, значит, угол EDF равен 42° (так как DK - биссектриса).

Угол FED равен 180° - 42° - 42° = 96°.

Ответ: №1: 55°, 125°, 55°. №2: 90°, прямоугольный. №3: 40°. №4: 110°. №5: 96°.