Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: Подготовительный вариант №1. 1. Решить уравнения: 1) 11^(9x−25) = 121; 2) 3^(x²−7x) = (1/81)^(x−1); 3) 12^x + 3 · 12^(x+1)…Фото задания

Ответ:

1. Решение уравнений

  1. Представим 121 как степень числа 11: \(11^{9x-25}=11^2\), значит, \(9x-25=2\). Отсюда \(9x=27\), \(x=3\).

  2. Так как \(1/81=3^{-4}\), получаем \(3^{x^2-7x}=3^{-4(x-1)}\). Приравниваем показатели: \(x^2-7x=-4x+4\), то есть \(x^2-3x-4=0\). Разложение на множители: \((x-4)(x+1)=0\). Поэтому \(x=4\) или \(x=-1\).

  3. Вынесем \(12^x\) за скобки и учтём, что \(12^{x+1}=12\cdot12^x\): \(12^x(1+3c12)=37\). Тогда \(37\text{·}12^x=37\), откуда \(12^x=1=12^0\), поэтому \(x=0\).

  4. Положим \(t=2^x\), где \(t>0\). Тогда \(t^2-7t-8=0\), то есть \((t-8)(t+1)=0\). С учётом \(t>0\) получаем \(t=8=2^3\), следовательно, \(x=3\).

2. Решение неравенств

  1. \(16=2^4\). Поскольку основание 2 больше 1, сравниваем показатели: \(3x+16\ge4\). Значит, \(x\ge-4\).

  2. Запишем обе части как степени числа 6: \(6^{5x-2}<6^{2x-8}\). Основание больше 1, поэтому \(5x-2<2x-8\), откуда \(x<-2\).

  3. Основание 13 больше 1, а \(1=13^0\), значит, \(4x^2-6x\ge0\). Факторизуем: \(2x(2x-3)\ge0\). Поэтому \(x\le0\) или \(x\ge\frac32\).

  4. Область допустимых значений: \(4x+5\ne0\), то есть \(x\ne-\frac54\). Так как \(49=7^2\) и основание больше 1, требуется \(\frac{2x-2}{4x+5}>2\). После переноса в одну сторону: \(\frac{-6(x+2)}{4x+5}>0\), или \(\frac{x+2}{4x+5}<0\). По методу интервалов получаем \(-2

Ответ: 1) \(x=3\); 2) \(x=-1, 4\); 3) \(x=0\); 4) \(x=3\). Неравенства: 1) \(x\ge-4\); 2) \(x<-2\); 3) \(x\in(-\infty,0]\cup[\frac32,+\infty)\); 4) \(x\in(-2,-\frac54)\).