5. Подберите, если возможно, такое значение т, при ко- тором данная система имеет единственное решение; не име- ет решений; имеет бесконечное множество решений: 1) (y-5x-7, y=mx+3; 2) y = 0,5x + m, {4y-6x-5; 3) {mx-3y-6, 2x-y-2.

Решение задания 5

1)

Система уравнений:

\[\begin{cases} y = 5x - 7 \\ y = mx + 3 \end{cases}\]

• Единственное решение: m ≠ 5
• Нет решений: m = 5
• Бесконечное множество решений: не существует такого m

2)

Система уравнений:

\[\begin{cases} y = 0.5x + m \\ 4y - 6x = -5 \end{cases}\]

Подставим первое уравнение во второе: 4(0.5x + m) - 6x = -5, откуда 2x + 4m - 6x = -5, -4x = -5 - 4m, x = (5 + 4m) / 4

Выразим y: y = 0.5((5 + 4m) / 4) + m = (5 + 4m) / 8 + m = (5 + 4m + 8m) / 8 = (5 + 12m) / 8

Система имеет единственное решение при любом m.

• Единственное решение: для любого m
• Нет решений: не существует такого m
• Бесконечное множество решений: не существует такого m

3)

Система уравнений:

\[\begin{cases} mx - 3y = 6 \\ 2x - y = 2 \end{cases}\]

Выразим y из второго уравнения: y = 2x - 2

Подставим это в первое уравнение: mx - 3(2x - 2) = 6, mx - 6x + 6 = 6, mx - 6x = 0, x(m - 6) = 0

• Единственное решение: m ≠ 6
• Нет решений: не существует такого m
• Бесконечное множество решений: m = 6

Проверка за 10 секунд: Для определения количества решений необходимо исследовать коэффициенты уравнений.

Доп. профит: Редфлаг: Обращайте внимание на случаи, когда уравнения становятся пропорциональными или параллельными, так как это влияет на количество решений.