По заданным радиусам R и r, а также расстоянию между центрами О₁ и О₂ двух окружностей определите их взаимное расположение, количество общих точек и общих касательных.

Решение:

Для определения взаимного расположения двух окружностей сравним расстояние между их центрами \( O_1O_2 \) и разностью \( R - r \) и суммой \( R + r \).

1) \( O_1O_2 = 18 \), \( R + r = 21 + 5 = 26 \), \( R - r = 21 - 5 = 16 \). Итак, \( 16 < 18 < 26 \), т. е. \( R - r < O_1O_2 < R + r \).

Следовательно, окружности имеют 2 общих точки, а потому имеют 4 общих касательных.

2) \( O_1O_2 = 36 \), \( R + r = 18 + 18 = 36 \), \( R - r = 18 - 18 = 0 \). Итак, \( O_1O_2 = R + r \), т. е. \( O_1O_2 = 36 \).

Следовательно, окружности имеют 1 общую точку (касаются внешним образом), а потому имеют 3 общих касательных.

3) \( O_1O_2 = 0 \), \( R + r = 12 + 7 = 19 \), \( R - r = 12 - 7 = 5 \). Итак, \( O_1O_2 < R - r \), т. е. \( 0 < 5 \).

Следовательно, окружности имеют 0 общих точек, одна окружность находится внутри другой, а потому имеют 0 общих касательных.

4) \( O_1O_2 = 27 \), \( R + r = 21 + 14 = 35 \), \( R - r = 21 - 14 = 7 \). Итак, \( 7 < 27 < 35 \), т. е. \( R - r < O_1O_2 < R + r \).

Следовательно, окружности имеют 2 общих точки, а потому имеют 4 общих касательных.

5) \( O_1O_2 = 26 \), \( R + r = 41 + 15 = 56 \), \( R - r = 41 - 15 = 26 \). Итак, \( O_1O_2 = R - r \), т. е. \( 26 = 26 \).

Следовательно, окружности имеют 1 общую точку (касаются внутренним образом), а потому имеют 1 общую касательную.

6) \( O_1O_2 = 29 \), \( R + r = 17 + 8 = 25 \), \( R - r = 17 - 8 = 9 \). Итак, \( O_1O_2 > R + r \), т. е. \( 29 > 25 \).

Следовательно, окружности не имеют общих точек (расположены вне друг друга), а потому имеют 4 общих касательных.