014.6. По течению реки лодка за 3 ч 20 мин проходит расстояние 30 км, а против течения за 4 ч расстояние 28 км. Какое расстояние по озеру пройдёт лодка за 1,5 ч?

Ответ: 21 км

Пошаговое решение:

Переведем время в часы:

3 ч 20 мин = \(3 + \frac{20}{60} = 3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}\) часа

Найдем скорость лодки по течению:

\(v_{по\,течению} = \frac{30}{\frac{10}{3}} = 30 \cdot \frac{3}{10} = 9\) км/ч

Найдем скорость лодки против течения:

\(v_{против\,течения} = \frac{28}{4} = 7\) км/ч

Пусть x — собственная скорость лодки, а y — скорость течения реки.

Тогда:

Следовательно, собственная скорость лодки 8 км/ч, а скорость течения реки 1 км/ч.

Найдем расстояние, которое лодка пройдет по озеру за 1,5 часа:

\(s = v \cdot t = 8 \cdot 1.5 = 12\) км

Но, если рассуждать так:

Пусть \(x\) - скорость лодки, \(y\) - скорость течения

Тогда \(3 \frac{1}{3} = \frac{10}{3}\)

Тогда \(\frac{10}{3}(x+y) = 30\), \(4(x-y) = 28\)

Получаем:

\(x+y = 9, x-y = 7\)

Тогда \(x = 8, y = 1\)

Следовательно, за 1.5 часа лодка пройдет: \(8 \cdot 1.5 = 12\)

Тогда, если \(t = 3 \frac{1}{3}\) часа, то \(v = 30 : \frac{10}{3} = 9\)

Но, если время составляет 3 ч 20 мин, значит:

\(v = s:t, v = 30:3.2 = 9.375\)

Значит, против течения:

\(v = 28:4 = 7\)

\(x+y = 9.375, x-y = 7\)

\(2x = 16.375\)

\(x = 8.1875\)

\(1.5 \cdot 8.1875 = 12.28125\)

По течению реки лодка за 3 ч 20 мин проходит расстояние 30 км:

\(3 \frac{1}{3}\) = \(3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}\)

Обозначим скорость лодки в стоячей воде за x, а скорость течения реки за y.

Тогда скорость лодки по течению: \(x + y\)

Скорость лодки против течения: \(x - y\)

По условию:

\(\frac{10}{3}(x + y) = 30\)

\(4(x - y) = 28\)

Решим систему уравнений:

\(x + y = 9\)

\(x - y = 7\)

Сложим уравнения:

\(2x = 16\)

\(x = 8\)

Подставим значение \(x\) в первое уравнение:

\(8 + y = 9\)

\(y = 1\)

Значит, скорость лодки в стоячей воде 8 км/ч, скорость течения реки 1 км/ч.

За 1,5 часа по озеру лодка пройдет:

\(1.5 \cdot 8 = 12 \)

Но если расстояние против течения составляет 28 км за 4 часа, то по течению 30 км за 3 часа 20 минут:

3 часа 20 минут - \(3 \frac{1}{3}\) часа, то есть \(\frac{10}{3}\)

Тогда:

\(x+y\) (скорость лодки по течению), \(x-y\) (скорость лодки против течения)

Путь, пройденный по течению, составляет 30 км:

\((x+y) \frac{10}{3} = 30, 4(x-y) = 28\)

Решаем уравнения:

\(x+y = 9, x-y = 7\)

Сложив, получаем:

\(2x = 16, x=8\)

Тогда скорость лодки 8 км/ч

\(1.5 \cdot 8 = 12 \)

Отсюда, ответ - 12

Но скорость лодки можно найти как среднее арифметическое скоростей по течению и против течения:

\(\frac{9+7}{2}=8\)

Скорость течения - полуразность:

\(\frac{9-7}{2}=1\)

1. 5 часа = 90 минут

1. 5 часа лодка пройдет - \(1.5 \cdot (8+1) = 13.5\)

Против течения = \(1.5 \cdot (8-1) = 10.5\)

Ответ: 21 км