6. По периоду обращения Солнца приблизительно оцените массу Галактики в массах Солнца. (Воспользуйтесь третьим уточненным законом Кеплера.)

Третий закон Кеплера (в уточненной форме) гласит:

\[\frac{T^2}{a^3} = \frac{4\pi^2}{G(M + m)}\]

где T - период обращения, a - большая полуось орбиты, G - гравитационная постоянная, M - масса центрального тела, m - масса обращающегося тела.

В нашем случае, если масса Солнца (m) пренебрежимо мала по сравнению с массой Галактики (M), уравнение упрощается:

\[\frac{T^2}{a^3} = \frac{4\pi^2}{GM}\]

Отсюда выражаем массу Галактики:

\[M = \frac{4\pi^2 a^3}{GT^2}\]

Известные параметры:

• Расстояние от Солнца до центра Галактики (a) ≈ 8 кпк (килопарсек).
• Период обращения Солнца вокруг центра Галактики (T) ≈ 225-250 млн лет.

Для удобства переведем все в нужные единицы. Пусть a = 8 кпк = \(8 \cdot 10^3 \cdot 3.086 \cdot 10^{16}\) м = \(2.4688 \cdot 10^{20}\) м.

Период T = 250 млн лет = \(2.5 \cdot 10^8 \cdot 365.25 \cdot 24 \cdot 3600\) с = \(7.884 \cdot 10^{15}\) с.

Гравитационная постоянная G = \(6.674 \cdot 10^{-11}\) Н·м²/кг².

Подставим значения и вычислим массу Галактики:

\[M = \frac{4\pi^2 (2.4688 \cdot 10^{20})^3}{6.674 \cdot 10^{-11} (7.884 \cdot 10^{15})^2} \approx \frac{4 \cdot 9.87 \cdot 1.506 \cdot 10^{61}}{6.674 \cdot 10^{-11} \cdot 6.215 \cdot 10^{31}} \approx 1.42 \cdot 10^{42} \text{ кг}\]

Масса Солнца \(M_{\odot} = 1.989 \cdot 10^{30}\) кг.

Масса Галактики в массах Солнца:

\[\frac{1.42 \cdot 10^{42}}{1.989 \cdot 10^{30}} \approx 7.14 \cdot 10^{11} M_{\odot}\]