По несгруппированным данным: 1. записать статистический ряд частот и относительных частот (для ДСВ точечный, для НСВ интервальный. Интервал, в который попадает НСВ, можно расширить и разделить на m=10,9,8,7 частей, в зависимости от его длины); 2. построить эмпирическую функцию распределения; 3. построить полигон для ДСВ, гистограмму для НСВ; 4. выдвинуть гипотезу о законе распределения СВ; 5. найти несмещенные точечные оценки параметров распределения; 6. найти доверительные интервалы для математического ожидания, среднеквадратического отклонения (в предположении закона N (α, σ)) c надежностью γ=0,95, γ=0,99; 7. проверить выдвинутую гипотезу о законе распределения по критерию Пирсона χ² при уровне значимости α = 0,05, α = 0,01. Сделать выводы. Результаты измерения роста (в см) случайно выбранных 100 студентов сведены в ряд

1. Статистический ряд частот и относительных частот

Данные представляют собой рост 100 студентов. Так как рост является непрерывной величиной, будем строить для неё интервальный статистический ряд.

Минимальное значение: 150 см

Максимальное значение: 182 см

Размах: \( R = 182 - 150 = 32 \) см

Выберем число интервалов \( m = 10 \). Тогда ширина интервала \( h \) будет:

\[ h = \frac{R}{m} = \frac{32}{10} = 3.2 \]

Округлим ширину интервала до \( h = 3.5 \) см. Начало первого интервала выберем равным \( x_{min} = 150 \) см.

2. Эмпирическая функция распределения

Эмпирическая функция распределения \( F_n(x) \) — это доля наблюдений, которые меньше или равны \( x \).

\( F_n(x) = \frac{n(x)}{N} \), где \( n(x) \) — число наблюдений, меньших \( x \), \( N \) — общее число наблюдений.

3. Полигон и гистограмма

Гистограмма строится по данным таблицы частот. По оси абсцисс откладываются границы интервалов, а по оси ординат — частоты. Высота прямоугольников равна частоте или относительной частоте.

Полигон строится по серединам интервалов и их частотам.

4. Гипотеза о законе распределения

Сформулируем нулевую гипотезу \( H_0 \) о том, что рост студентов распределен по нормальному закону. Альтернативная гипотеза \( H_1 \) — рост студентов распределен не по нормальному закону.

5. Несмещенные точечные оценки параметров распределения

Выборочное среднее \( \bar{x} \):

\[ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i = \frac{1}{100} \sum_{i=1}^{10} x_i n_i \]

\[ \bar{x} = \frac{1}{100} (151.75 \cdot 3 + 155.25 \cdot 15 + 158.75 \cdot 18 + 162.25 \cdot 22 + 165.75 \cdot 25 + 169.25 \cdot 9 + 172.75 \cdot 2 + 176.25 \cdot 4 + 179.75 \cdot 1 + 183.25 \cdot 1) \]

\[ \bar{x} = \frac{1}{100} (455.25 + 2328.75 + 2857.5 + 3570.5 + 4143.75 + 1523.25 + 345.5 + 705 + 179.75 + 183.25) = \frac{16192.5}{100} = 161.925 \text{ см} \]

Исправленная выборочная дисперсия \( s^2 \):

\[ s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} n_i (x_i - \bar{x})^2 \]

Сначала вычислим \( \sum n_i (x_i - \bar{x})^2 \):

\( (151.75 - 161.925)^2 \cdot 3 + (155.25 - 161.925)^2 \cdot 15 + (158.75 - 161.925)^2 \cdot 18 + (162.25 - 161.925)^2 \cdot 22 + (165.75 - 161.925)^2 \cdot 25 + (169.25 - 161.925)^2 \cdot 9 + (172.75 - 161.925)^2 \cdot 2 + (176.25 - 161.925)^2 \cdot 4 + (179.75 - 161.925)^2 \cdot 1 + (183.25 - 161.925)^2 \cdot 1 \)

\[ = (-10.175)^2 \cdot 3 + (-6.675)^2 \cdot 15 + (-3.175)^2 \cdot 18 + (0.325)^2 \cdot 22 + (3.825)^2 \cdot 25 + (7.325)^2 \cdot 9 + (10.825)^2 \cdot 2 + (14.325)^2 \cdot 4 + (17.825)^2 \cdot 1 + (21.325)^2 \cdot 1 \)

\[ \approx 103.53 + 66.77 \cdot 15 + 10.08 \cdot 18 + 0.1056 \cdot 22 + 14.63 \cdot 25 + 53.66 \cdot 9 + 117.18 \cdot 2 + 205.2 \cdot 4 + 317.7 \cdot 1 + 454.7 \cdot 1 \)

\[ \approx 103.53 + 400.65 + 181.44 + 2.32 + 365.75 + 482.94 + 234.36 + 820.8 + 317.7 + 454.7 = 3364.24 \]

\[ s^2 = \frac{3364.24}{100-1} = \frac{3364.24}{99} \approx 34.08 \text{ см}^2 \]

Выборочное стандартное отклонение \( s \):

\[ s = \sqrt{s^2} = \sqrt{34.08} \approx 5.84 \text{ см} \]

6. Доверительные интервалы

Для математического ожидания \( \mu \) (при \( N \) большом, \( N > 30 \), используем \( t \)-распределение или \( z \)-распределение; здесь \( N=100 \), \( \bar{x} = 161.925 \), \( s = 5.84 \)):

При \( \gamma = 0.95 \) (уровень значимости \( \alpha = 0.05 \)):

Критическое значение \( t_{n-1, \alpha/2} \) для \( n=100 \) и \( \alpha=0.05 \) (двусторонний интервал) равно примерно \( 1.984 \).

\[ \bar{x} \pm t_{n-1, \alpha/2} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \]

\[ 161.925 \pm 1.984 \cdot \frac{5.84}{\sqrt{100}} = 161.925 \pm 1.984 \cdot \frac{5.84}{10} = 161.925 \pm 1.984 \cdot 0.584 \]

\[ 161.925 \pm 1.159 \]

Доверительный интервал: \( [160.766, 163.084] \) см.

При \( \gamma = 0.99 \) (уровень значимости \( \alpha = 0.01 \)):

Критическое значение \( t_{n-1, \alpha/2} \) для \( n=100 \) и \( \alpha=0.01 \) равно примерно \( 2.626 \).

\[ 161.925 \pm 2.626 \cdot \frac{5.84}{\sqrt{100}} = 161.925 \pm 2.626 \cdot 0.584 \]

\[ 161.925 \pm 1.534 \]

Доверительный интервал: \( [160.391, 163.459] \) см.

Для среднеквадратического отклонения \( \sigma \) (доверительный интервал для \( \sigma \) строится с помощью \( \chi^2 \)-распределения, но часто для \( N>30 \) используют приближение, основанное на доверительном интервале для \( \sigma^2 \)):

При \( \gamma = 0.95 \) (уровень значимости \( \alpha = 0.05 \)):

Границы доверительного интервала для \( \sigma^2 \):

\[ \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{n-1, \alpha/2}} \le \sigma^2 \le \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{n-1, 1-\alpha/2}} \]

Для \( n=100 \) и \( \alpha=0.05 \), \( \chi^2_{99, 0.025} \approx 124.34 \), \( \chi^2_{99, 0.975} \approx 77.93 \).

\[ \frac{99 \cdot 34.08}{124.34} \le \sigma^2 \le \frac{99 \cdot 34.08}{77.93} \]

\[ \frac{3373.92}{124.34} \le \sigma^2 \le \frac{3373.92}{77.93} \]

\[ 27.13 \le \sigma^2 \le 43.30 \]

Доверительный интервал для \( \sigma \):

\[ \sqrt{27.13} \le \sigma \le \sqrt{43.30} \]

\[ 5.21 \le \sigma \le 6.58 \text{ см} \]

При \( \gamma = 0.99 \) (уровень значимости \( \alpha = 0.01 \)):

Для \( n=100 \) и \( \alpha=0.01 \), \( \chi^2_{99, 0.005} \approx 128.30 \), \( \chi^2_{99, 0.995} \approx 73.31 \).

\[ \frac{99 \cdot 34.08}{128.30} \le \sigma^2 \le \frac{99 \cdot 34.08}{73.31} \]

\[ \frac{3373.92}{128.30} \le \sigma^2 \le \frac{3373.92}{73.31} \]

\[ 26.30 \le \sigma^2 \le 46.03 \]

Доверительный интервал для \( \sigma \):

\[ \sqrt{26.30} \le \sigma \le \sqrt{46.03} \]

\[ 5.13 \le \sigma \le 6.78 \text{ см} \]

7. Проверка гипотезы о законе распределения по критерию Пирсона \( \chi^2 \)

Таблица для расчета \( \chi^2 \)

Наблюдаемое значение критерия \( \chi^2_{набл} = 38.97 \)

Число степеней свободы \( k = m - 1 - p \), где \( m \) — число интервалов, \( p \) — число оцениваемых параметров (в данном случае \( \mu \) и \( \sigma \), т.е. \( p=2 \)).

\( k = 10 - 1 - 2 = 7 \).

При \( \alpha = 0.05 \)

Критическое значение \( \chi^2_{0.05, 7} \approx 14.067 \).

Так как \( \chi^2_{набл} = 38.97 > 14.067 \), мы отвергаем нулевую гипотезу \( H_0 \).

При \( \alpha = 0.01 \)

Критическое значение \( \chi^2_{0.01, 7} \approx 18.475 \).

Так как \( \chi^2_{набл} = 38.97 > 18.475 \), мы отвергаем нулевую гипотезу \( H_0 \).

Выводы:

На основании проведенного анализа и проверки гипотезы с использованием критерия Пирсона \( \chi^2 \) на уровнях значимости \( \alpha = 0.05 \) и \( \alpha = 0.01 \) мы отвергаем гипотезу о нормальном распределении роста студентов.

Ответ: Гипотеза о нормальном распределении роста студентов отвергается.