По фрагменту таблицы истинности выберите соответствующую логическую функцию. Известна часть таблицы логической функции с пропусками. Пропуск означает, что на его месте может быть как 0, так и 1. Выберите ту логическую функцию, которая подходит данной таблице. 1) x ∨ y ∨ z 2) x ∨ ȳ ∨ z 3) x ∧ ȳ ∧ z 4) x̄ ∧ z ∧ y Шаг 1: Определите количество нулей и единиц в значении функции.

Решение:

Нам дана часть таблицы истинности логической функции. Пропуски могут быть как 0, так и 1. Нужно выбрать функцию, которая подходит под имеющиеся значения.

Рассмотрим предложенные варианты функций и подставим значения из таблицы.

• Функция 1: $$x ∨ y ∨ z$$
• Функция 2: $$x ∨ ar{y} ∨ z$$
• Функция 3: $$x ∧ ar{y} ∧ z$$
• Функция 4: $$ar{x} ∧ z ∧ y$$

Шаг 1: Анализ таблицы

Посмотрим на строки, где значения известны:

• Строка 1: $$x=0, y=?, z=1, f=0$$.
• Строка 2: $$x=1, y=0, z=?, f=1$$.
• Строка 3: $$x=?, y=?, z=1, f=0$$.

Из первой строки, где $$f=0$$, мы можем предположить, что функция не является суммой (логическое ИЛИ), так как если бы $$y$$ был 1, результат был бы 1. Более вероятно, что это конъюнкция (логическое И), где хотя бы один операнд равен 0, дает 0.

Проверим вариант 4: $$ar{x} ∧ z ∧ y$$.

Строка 1: $$x=0 ightarrow ar{x}=1$$. $$z=1$$. $$f=0$$. Если $$y=0$$, то $$1 ∧ 1 ∧ 0 = 0$$. Это совпадает.

Строка 2: $$x=1 ightarrow ar{x}=0$$. $$y=0$$. $$f=1$$. Но $$ar{x}=0$$, поэтому $$0 ∧ z ∧ 0 = 0$$. Это НЕ совпадает.

Рассмотрим вариант 3: $$x ∧ ar{y} ∧ z$$.

Строка 1: $$x=0$$. $$z=1$$. $$f=0$$. $$0 ∧ ar{y} ∧ 1 = 0$$. Совпадает.

Строка 2: $$x=1$$. $$y=0 ightarrow ar{y}=1$$. $$f=1$$. $$1 ∧ 1 ∧ z = 1$$. Для этого нужно, чтобы $$z=1$$. Но в таблице $$z$$ пропущено.

Давайте рассуждать иначе. В таблице есть строки, где $$f=0$$. Это означает, что функция не может быть только суммой (OR), так как сумма двух нулей даст ноль, но одного нуля может быть недостаточно. Однако, если $$f=0$$ при $$z=1$$ и $$x=0$$, это значит, что $$y$$ скорее всего 0 (если это AND), или $$x$$ должен быть 0 (если это OR, но тогда $$f$$ было бы 1, если $$y$$ или $$z$$ были бы 1).

Посмотрим на функцию 3: $$x ∧ ar{y} ∧ z$$.

• Строка 1: $$x=0, y=?, z=1, f=0$$. $$0 ∧ ar{y} ∧ 1 = 0$$. Это выполняется для любого $$y$$.
• Строка 2: $$x=1, y=0, z=?, f=1$$. $$1 ∧ ar{0} ∧ z = 1$$. $$1 ∧ 1 ∧ z = 1$$. Это значит, что $$z=1$$.
• Строка 3: $$x=?, y=?, z=1, f=0$$. Если взять $$x=0, y=1$$, то $$0 ∧ ar{1} ∧ 1 = 0 ∧ 0 ∧ 1 = 0$$.

Значит, функция 3 подходит. Давайте проверим, возможны ли другие варианты.

Если бы была функция $$x ∨ ar{y} ∨ z$$ (вариант 2):

• Строка 1: $$x=0, y=?, z=1, f=0$$. $$0 ∨ ar{y} ∨ 1 = 1$$. Не подходит.

Если бы была функция $$x ∨ y ∨ z$$ (вариант 1):

• Строка 1: $$x=0, y=?, z=1, f=0$$. $$0 ∨ y ∨ 1 = 1$$. Не подходит.

Таким образом, единственная подходящая функция — это $$x ∧ ar{y} ∧ z$$.

Шаг 1: Количество нулей и единиц

По условию, пропуск может быть как 0, так и 1. В таблице 8 строк (2^3). У нас есть 3 заполненные строки.

Строка 1: $$x=0, y=?, z=1, f=0$$. Эта строка удовлетворяет функции $$x ∧ ar{y} ∧ z$$ при любом значении $$y$$.

Строка 2: $$x=1, y=0, z=?, f=1$$. Для выполнения функции $$1 ∧ ar{0} ∧ z = 1$$, нам нужно $$1 ∧ 1 ∧ z = 1$$, что означает $$z=1$$.

Строка 3: $$x=?, y=?, z=1, f=0$$. Эта строка, чтобы удовлетворять функции $$x ∧ ar{y} ∧ 1 = 0$$, должна иметь $$x=0$$ или $$ar{y}=0$$ (то есть $$y=1$$).

Чтобы определить общее количество нулей и единиц, нам нужно заполнить пропуски так, чтобы ВСЕ строки таблицы соответствовали функции.

Из строки 2 мы знаем, что $$z=1$$.

Теперь у нас есть:

Рассмотрим строку 1: $$0 ∧ ar{y} ∧ 1 = 0$$. Это верно для любого $$y$$.

Рассмотрим строку 3: $$x ∧ ar{y} ∧ 1 = 0$$. Это верно, если $$x=0$$ или $$y=1$$.

Теперь добавим остальные 5 строк, которые не указаны.

Для функции $$x ∧ ar{y} ∧ z$$, $$f=1$$ только тогда, когда $$x=1, y=0, z=1$$. Это одна строка.

Во всех остальных 7 строках $$f=0$$.

Таким образом, в полной таблице истинности будет 1 единица и 7 нулей.

Проверим ответы:

• 7 единиц, 1 нуль — Неверно.
• 7 нулей, 1 единица — Верно.

Ответ: 3) $$x ∧ ar{y} ∧ z$$, 7 нулей, 1 единица.