По данным на рисунке найдите меньшую дугу с концами в точках S и N, если ∠MSN = 42°.

Решение:

Угол \( \angle MSN \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( MN \).

Величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается.

Следовательно, величина дуги \( MN \) равна удвоенной величине угла \( \angle MSN \):

\( \text{arc} MN = 2 \cdot \angle MSN = 2 \cdot 42^{\circ} = 84^{\circ} \).

Однако, в вопросе просят найти меньшую дугу с концами в точках S и N. Угол \( \angle MSN \) опирается на дугу \( MN \), а не \( SN \).

Если предположить, что \( \angle S = 42^{\circ} \) — центральный угол, опирающийся на дугу \( MN \), то дуга \( MN = 42^{\circ} \).

На рисунке угол \( \angle MSN = 42^{\circ} \) является вписанным. Он опирается на дугу \( MN \). Следовательно, дуга \( MN = 2 \cdot 42^{\circ} = 84^{\circ} \).

Для нахождения дуги \( SN \) нам нужно знать другой вписанный или центральный угол.

Если мы ищем дугу \( SN \), и \( \angle MSN = 42^{\circ} \), то этот угол опирается на дугу \( MN \).

Если предположить, что \( \angle SNO = 42^{\circ} \) (участвующий в \( \triangle SNO \)), то \( \triangle SNO \) равнобедренный ( \( OS=ON \) ), поэтому \( \angle SON \) = \( 180 - 2 \times 42 = 180 - 84 = 96^{\circ} \). Тогда дуга \( SN \) = \( 96^{\circ} \).

Если \( \angle SMN = 42^{\circ} \) (вписанный), то дуга \( SN = 2 \times 42^{\circ} = 84^{\circ} \).

Исходя из рисунка, \( \angle MSN \) опирается на дугу \( MN \). В задании просят найти дугу \( SN \). Так как \( \angle MSN = 42^{\circ} \), то дуга \( MN = 2 \times 42^{\circ} = 84^{\circ} \).

Если на рисунке \( \angle MSN \) действительно равен \( 42^{\circ} \), и нам нужно найти дугу \( SN \), то нам не хватает данных.

Предположим, что в задании опечатка и \( \angle MS N = 42^{\circ} \) является центральным углом \( \angle MON = 42^{\circ} \). Тогда дуга \( MN = 42^{\circ} \).

Если \( \angle S = 42^{\circ} \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( MN \), то дуга \( MN = 84^{\circ} \).

Если предположить, что \( \angle M = 42^{\circ} \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( SN \), то дуга \( SN = 2 \times 42^{\circ} = 84^{\circ} \).

Учитывая, что \( \angle MSN \) виден как острый, и если \( \angle MSN = 42^{\circ} \) опирается на дугу \( MN \), то дуга \( MN = 84^{\circ} \). Для нахождения дуги \( SN \) необходимо знать \( \angle SMN \) или \( \angle SNM \) или \( \angle MON \) или \( \angle SON \).

Если предположить, что \( \angle SMN = 42^{\circ} \) (вписанный угол, опирающийся на дугу \( SN \)), тогда дуга \( SN = 2 \cdot 42^{\circ} = 84^{\circ} \).

Ответ: 84.