По бизнес-плану вкладчик предполагает вложить в четырёхлетний проект целое число млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост средств вкладчика на 20% по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начисления процентов требуются дополнительные вложения: по 10 млн рублей в первый и второй годы, а также по 15 млн в третий и четвёртый годы. Найдите наименьший размер первоначальных вложений, при котором общая сумма средств вкладчика к началу третьего года станет больше 140 млн, а к концу проекта — больше 220 млн рублей.

Решение:

Обозначим первоначальные вложения как \(x\) млн рублей.

Год 1:

• Начало года: \(x\)
• Прирост: \(0.2x\)
• Сумма к концу года: \(x + 0.2x = 1.2x\)
• Дополнительное вложение: 10 млн
• Общая сумма к концу 1-го года: \(1.2x + 10\)

Год 2:

• Начало года: \(1.2x + 10\)
• Прирост: \(0.2(1.2x + 10) = 0.24x + 2\)
• Сумма к концу года: \((1.2x + 10) + (0.24x + 2) = 1.44x + 12\)
• Дополнительное вложение: 10 млн
• Общая сумма к концу 2-го года: \(1.44x + 12 + 10 = 1.44x + 22\)

Условие 1: к началу третьего года сумма средств станет больше 140 млн.

Начало третьего года — это конец второго года. Значит:

\[ 1.44x + 22 > 140 \]

\(1.44x > 140 - 22\)

\(1.44x > 118\)

\[ x > \frac{118}{1.44} \]

\[ x > 81.944... \]

Так как \(x\) — целое число, то \(x \ge 82\).

Год 3:

• Начало года: \(1.44x + 22\)
• Прирост: \(0.2(1.44x + 22) = 0.288x + 4.4\)
• Сумма к концу года: \((1.44x + 22) + (0.288x + 4.4) = 1.728x + 26.4\)
• Дополнительное вложение: 15 млн
• Общая сумма к концу 3-го года: \(1.728x + 26.4 + 15 = 1.728x + 41.4\)

Год 4:

• Начало года: \(1.728x + 41.4\)
• Прирост: \(0.2(1.728x + 41.4) = 0.3456x + 8.28\)
• Сумма к концу года: \((1.728x + 41.4) + (0.3456x + 8.28) = 2.0736x + 49.68\)
• Дополнительное вложение: 15 млн
• Общая сумма к концу 4-го года (к концу проекта): \(2.0736x + 49.68 + 15 = 2.0736x + 64.68\)

Условие 2: к концу проекта сумма средств станет больше 220 млн.

\[ 2.0736x + 64.68 > 220 \]

\(2.0736x > 220 - 64.68\)

\(2.0736x > 155.32\)

\[ x > \frac{155.32}{2.0736} \]

\[ x > 74.904... \]

Так как \(x\) — целое число, то \(x \ge 75\).

Мы получили два условия для \(x\): \(x \ge 82\) и \(x \ge 75\). Наименьшим целым числом, удовлетворяющим обоим условиям, является \(x = 82\).

Проверка:

• Если \(x = 82\):
• Конец 2-го года: \(1.44 \times 82 + 22 = 118.08 + 22 = 140.08\) млн. (больше 140 млн)
• Конец 4-го года: \(2.0736 \times 82 + 64.68 = 169.0352 + 64.68 = 233.7152\) млн. (больше 220 млн)

Ответ: 82 млн рублей.