1. Площадь прямоугольного треугольника равна 90. Один из его катетов на 8 больше другого (см. рис. 104). Найдите меньший катет.

Пусть один катет равен x см, тогда другой катет равен x + 8 см. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Составим уравнение:

$$\frac{1}{2} \cdot x \cdot (x+8) = 90$$

$$x(x+8) = 180$$

$$x^2 + 8x - 180 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-180) = 64 + 720 = 784$$

$$\sqrt{D} = \sqrt{784} = 28$$

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + 28}{2 \cdot 1} = \frac{20}{2} = 10$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - 28}{2 \cdot 1} = \frac{-36}{2} = -18$$

Так как длина катета не может быть отрицательной, то x = 10 см.

Меньший катет равен 10 см.

Ответ: 10