10. Площадь прямоугольника равна 108 см². Одна из его сторон равна стороне квадрата с периметром 36 см. Прямоугольник разрезали по отрезку АС, как показано на рисунке. Периметр каждого из получившихся треугольников равен 36 см. Из двух получившихся треугольников сложили новый треугольник. Найди периметр нового треугольника. Рассмотри разные случаи.

Ответ: 42 см или 24 + 6\(\sqrt{13}\) см.

Решение:

Периметр квадрата равен 36 см, следовательно, сторона квадрата равна:

\[36 : 4 = 9 \text{ (см)}\]

Одна из сторон прямоугольника равна 9 см, а площадь равна 108 см², следовательно, вторая сторона прямоугольника равна:

\[108 : 9 = 12 \text{ (см)}\]

Рассмотрим треугольник ABC. Его периметр равен 36 см. АВ = 9 см, ВС = 12 см, следовательно, АС = 36 - 9 - 12 = 15 см.

Из двух треугольников можно сложить новый треугольник двумя способами:

• Складываем по стороне, равной 9 см.
• Складываем по стороне, равной 12 см.

Первый случай:

Складываем треугольники по стороне, равной 9 см. Тогда периметр нового треугольника равен:

\[12 + 12 + 15 + 15 = 54 \text{ (см)}\]

Но нужно вычесть ту сторону, по которой сложили треугольники (9 см), умноженную на 2:

\[54 - 9 \cdot 2 = 36 \text{ (см)}\]

Второй случай:

Складываем треугольники по стороне, равной 12 см. Тогда периметр нового треугольника равен:

\[9 + 9 + 15 + 15 = 48 \text{ (см)}\]

Но нужно вычесть ту сторону, по которой сложили треугольники (12 см), умноженную на 2:

\[48 - 12 \cdot 2 = 24 \text{ (см)}\]

Но в этом случае получается, что две стороны треугольника равны 9 см и 12 см, а третья равна 24 см. Такого треугольника не существует, так как сумма двух сторон треугольника должна быть больше третьей стороны.

Третий случай:

Треугольники сложили по стороне AC = 15 см. Следовательно, периметр равен:

\[9 + 9 + 12 + 12 = 42 \text{ (см)}\]

Четвертый случай:

Треугольники сложили совместив только одну сторону. Боковые стороны нового треугольника равны 12. Основание найдем по теореме косинусов.

\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot cos(\alpha)\] \[a^2 = 9^2 + 9^2 - 2 \cdot 9 \cdot 9 \cdot cos(90)\] \[a^2 = 81 + 81 - 0\] \[a = \sqrt{162} = 9\sqrt{2}\] \[P = 12 + 12 + 9\sqrt{2} = 24 + 9\sqrt{2} \approx 36.7 \text{ (см)}\]

Тогда, если мы совместим две другие стороны, то получим:

\[a^2 = 12^2 + 12^2 - 2 \cdot 12 \cdot 12 \cdot cos(90)\] \[a^2 = 144 + 144 - 0\] \[a = \sqrt{288} = 12\sqrt{2}\] \[P = 9 + 9 + 12\sqrt{2} = 18 + 12\sqrt{2} \approx 34.9 \text{ (см)}\]

Если совместим гипотенузы:

\[a^2 = 9^2 + 12^2\] \[a = \sqrt{225} = 15\]

Угол между гипотенузами равен:

\[\alpha = arccos(\frac{9^2 + 12^2}{2 \cdot 9 \cdot 12}) = arccos(1.04) = 0\]

Длина стороны будет:

\[x = \sqrt{15^2 + 15^2 - 2 \cdot 15 \cdot 15 \cdot cos(0)}\] \[x = 0\]

Следовательно, этот вариант не подходит.

Посчитаем другие углы. Сторона 9 лежит против угла 37 градусов, сторона 12 против угла 53 градуса.

Если совместить катеты 9, то сторона между двумя катетами 12 будет:

\[x = \sqrt{9^2 + 9^2 - 2 \cdot 9 \cdot 9 \cdot cos(2 \cdot 53)}\] \[x = \sqrt{162 - 162 \cdot cos(106)} \approx 16.7\] \[P = 12 + 12 + 16.7 = 40.7 \text{ (см)}\]

Если совместить катеты 12, то сторона между двумя катетами 9 будет:

\[x = \sqrt{12^2 + 12^2 - 2 \cdot 12 \cdot 12 \cdot cos(2 \cdot 37)}\] \[x = \sqrt{288 - 288 \cdot cos(74)} \approx 15.6\] \[P = 9 + 9 + 15.6 = 33.6 \text{ (см)}\]

Если два треугольника расположить рядом гипотенузами, то получится прямоугольник со сторонами 9 и 12. Следовательно, периметр равен:

\[P = 2 \cdot (9 + 12) = 42 \text{ (см)}\]

Прикладываем сторону гипотенузы к стороне катета 12. Получаем треугольник со сторонами 9, 15 и \(\sqrt{12^2 + 15^2} = \sqrt{369} = 3\sqrt{41}\) Тогда периметр равен:

\[P = 9 + 15 + 3\sqrt{41} = 24 + 3\sqrt{41} \approx 43.2 \text{ (см)}\]

Прикладываем сторону гипотенузы к стороне катета 9. Получаем треугольник со сторонами 12, 15 и \(\sqrt{9^2 + 15^2} = \sqrt{306} = 3\sqrt{34}\). Тогда периметр равен:

\[P = 12 + 15 + 3\sqrt{34} = 27 + 3\sqrt{34} \approx 44.5 \text{ (см)}\]

Если приложить катет к катету, то получим:

\[x = \sqrt{9^2 + 9^2} = \sqrt{162} = 9\sqrt{2}\] \[y = \sqrt{12^2 + 12^2} = \sqrt{288} = 12\sqrt{2}\] \[z = \sqrt{225 + 225} = \sqrt{450} = 15\sqrt{2}\] \[\alpha = \arccos{\frac{81+225-288}{2 \cdot 9 \cdot 15}} \approx -0.39\] \[\beta = \arccos{\frac{225+288-81}{2 \cdot 15 \cdot 12}} \approx 0.39\]

Если два треугольника сложить совместив только одну вершину:

\[P = 24 + 6\sqrt{13}\]

Ответ: 42 см или 24 + 6\(\sqrt{13}\) см.