Контрольные задания > 16. Площадь боковой поверхности конуса равна 65л см², а его образующая равна 13 см. Найдите объем конуса. 17. Решите уравнение log3 x + log5 x = 2. 18. Радиус окружности равен 15 см. Найдите расстояние от центра окружности до хорды, длина которой равна 18 см. 19. Найти экстремумы функции y = x²-5x+5 20. Найти промежутки возрастания и убывания, точки экстремума функции f(x)=\frac{x²+4}{2x-3}
Вопрос:

16. Площадь боковой поверхности конуса равна 65л см², а его образующая равна 13 см. Найдите объем конуса. 17. Решите уравнение log3 x + log5 x = 2. 18. Радиус окружности равен 15 см. Найдите расстояние от центра окружности до хорды, длина которой равна 18 см. 19. Найти экстремумы функции y = x²-5x+5 20. Найти промежутки возрастания и убывания, точки экстремума функции f(x)=\frac{x²+4}{2x-3}

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Ответ: V ≈ 312.16 см³

Краткое пояснение: Сначала находим радиус основания конуса, затем его высоту, и, наконец, вычисляем объем конуса.

16. Найдем объем конуса.

  • Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле: \[S = \pi r l\], где r - радиус основания, l - образующая конуса.
  • Нам известна площадь боковой поверхности \(S = 65\pi\) см² и образующая \(l = 13\) см. Подставим эти значения в формулу и найдем радиус основания:
\[65\pi = \pi r \cdot 13\] \[r = \frac{65\pi}{13\pi} = 5\ \text{см}\]
  • Теперь, когда мы знаем радиус основания, найдем высоту конуса \(h\). Высота, радиус и образующая конуса образуют прямоугольный треугольник, где образующая является гипотенузой. Используем теорему Пифагора:
\[h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\ \text{см}\]
  • Объем конуса вычисляется по формуле: \[V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\]
  • Подставим значения радиуса \(r = 5\) см и высоты \(h = 12\) см в формулу:
\[V = \frac{1}{3} \pi \cdot 5^2 \cdot 12 = \frac{1}{3} \pi \cdot 25 \cdot 12 = 100\pi \approx 314.16\ \text{см}^3\]

Ответ: V ≈ 314.16 см³

Ответ: x = 9^{\frac{6}{7}}

Краткое пояснение: Используем свойства логарифмов, приводим к общему основанию и решаем уравнение.

17. Решим уравнение log₃²x + log₅x = 2.

  • Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов. Заменим основание логарифма log₅x на основание 3:
\[\log_5 x = \frac{\log_3 x}{\log_3 5}\]
  • Тогда уравнение примет вид:
\[(\log_3 x)^2 + \frac{\log_3 x}{\log_3 5} = 2\]
  • Пусть \(y = \log_3 x\). Тогда уравнение будет выглядеть так:
\[y^2 + \frac{y}{\log_3 5} - 2 = 0\]
  • Умножим все уравнение на \(\log_3 5\) чтобы избавиться от дроби:
\[(\log_3 5)y^2 + y - 2(\log_3 5) = 0\]
  • Решим квадратное уравнение относительно \(y\). Сначала найдем дискриминант:
\[D = 1^2 - 4(\log_3 5)(-2(\log_3 5)) = 1 + 8(\log_3 5)^2\]
  • Найдем корни уравнения:
\[y_1 = \frac{-1 + \sqrt{1 + 8(\log_3 5)^2}}{2(\log_3 5)}\] \[y_2 = \frac{-1 - \sqrt{1 + 8(\log_3 5)^2}}{2(\log_3 5)}\]
  • Теперь найдем \(x\), используя \(y = \log_3 x\), то есть \(x = 3^y\):
\[x_1 = 3^{\frac{-1 + \sqrt{1 + 8(\log_3 5)^2}}{2(\log_3 5)}}\] \[x_2 = 3^{\frac{-1 - \sqrt{1 + 8(\log_3 5)^2}}{2(\log_3 5)}}\]
  • Если предположить, что в условии опечатка и уравнение имеет вид \(\log_3^2 x + \log_3 x = 2\), тогда решение будет значительно проще:
\[y^2 + y - 2 = 0\] \[(y + 2)(y - 1) = 0\] \[y_1 = -2, \quad y_2 = 1\] \[x_1 = 3^{-2} = \frac{1}{9}, \quad x_2 = 3^1 = 3\]
  • Проверим корни, подставив их в исходное уравнение \(\log_3^2 x + \log_3 x = 2\):
\[(\log_3 \frac{1}{9})^2 + \log_3 \frac{1}{9} = (-2)^2 + (-2) = 4 - 2 = 2 \quad \text{(верно)}\] \[(\log_3 3)^2 + \log_3 3 = 1^2 + 1 = 1 + 1 = 2 \quad \text{(верно)}\]
  • Однако, исходя из записи в условии, наиболее вероятно, что имелось в виду \((\log_3 x)^2 + \log_5 x = 2\). В таком случае точное значение x найти проблематично без численных методов. Предположим, что имелось в виду \(\log_3 x + \log_3 x = 2\)
\[2 \log_3 x = 2\] \[\log_3 x = 1\] \[x = 3\]
  • Предположим, что \(\log_3^2 x + \log_3 x = 2\), тогда \(x = 3^{-2} = \frac{1}{9}, \quad x = 3^1 = 3\)
  • Но если \(\log_5 x = 2\), то \(x = 5^2=25\)
  • Решим уравнение: \(\log_3 x + \log_5 x = 2\). Преобразуем: \(\log_3 x + \frac{\log_3 x}{\log_3 5} = 2\)
\[\log_3 x (1 + \frac{1}{\log_3 5}) = 2\] \[\log_3 x = \frac{2}{1 + \frac{1}{\log_3 5}}\] \[\log_3 x = \frac{2 \log_3 5}{\log_3 5 + 1}\] \[x = 3^{\frac{2 \log_3 5}{\log_3 5 + 1}}\] \[x = 3^{\frac{2 \log_3 5}{\log_3 5 + 1}} = 3^{\frac{\log_3 25}{\log_3 15}} = 3^{\log_{15} 25} = (3^{\log_3 25})^{\log_{15} 3} = 25^{\log_{15} 3}\] \[\log_3 x = \frac{2 \cdot \log_3 5}{1 + \log_3 5}\] \[x = 3^{\frac{2 \cdot \log_3 5}{1 + \log_3 5}} = 3^{\frac{\log_3 25}{\log_3 3 + \log_3 5}} = 3^{\frac{\log_3 25}{\log_3 15}} = 3^{\log_{15} 25} = 25^{\log_{15} 3}\] \[x = 3^{\frac{\log_3 25}{\log_3 15}} = 3^{\log_{15} 25}\] \[x = 3^{\frac{6}{7}}\]

Ответ: x = 9^{\frac{6}{7}}

Ответ: 12 см

Краткое пояснение: Используем теорему Пифагора для нахождения расстояния от центра окружности до хорды.

18. Найдем расстояние от центра окружности до хорды.

  • Радиус окружности \(R = 15\) см, длина хорды \(a = 18\) см.
  • Расстояние от центра окружности до хорды перпендикулярно хорде и делит её пополам. Таким образом, образуется прямоугольный треугольник, где гипотенуза - радиус окружности, один катет - половина хорды, а второй катет - искомое расстояние.
  • Половина хорды: \(\frac{a}{2} = \frac{18}{2} = 9\) см.
  • Применим теорему Пифагора: \(R^2 = h^2 + (\frac{a}{2})^2\), где \(h\) - искомое расстояние.
  • Выразим \(h\): \(h = \sqrt{R^2 - (\frac{a}{2})^2}\)
  • Подставим значения: \(h = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12\) см.

Ответ: 12 см

Ответ: Экстремум в точке x = 2.5, y = -1.25

Краткое пояснение: Находим производную функции, приравниваем ее к нулю и находим точки экстремума.

19. Найдем экстремумы функции y = x² - 5x + 5

  • Найдем производную функции:
\[y' = 2x - 5\]
  • Приравняем производную к нулю, чтобы найти точки экстремума:
\[2x - 5 = 0\] \[x = \frac{5}{2} = 2.5\]
  • Найдем значение функции в точке экстремума:
\[y(2.5) = (2.5)^2 - 5(2.5) + 5 = 6.25 - 12.5 + 5 = -1.25\]
  • Таким образом, функция имеет экстремум в точке \((2.5, -1.25)\).

Ответ: Экстремум в точке x = 2.5, y = -1.25

Ответ: Функция возрастает на (−∞, 1.5) ∪ (1.5, ∞), экстремумов нет.

Краткое пояснение: Находим производную функции, определяем промежутки, где производная положительна (возрастание) и отрицательна (убывание).

20. Найдем промежутки возрастания и убывания, точки экстремума функции f(x) = (x²+4)/(2x-3)

  • Найдем производную функции:
\[f'(x) = \frac{(2x)(2x-3) - (x^2+4)(2)}{(2x-3)^2}\] \[f'(x) = \frac{4x^2 - 6x - 2x^2 - 8}{(2x-3)^2}\] \[f'(x) = \frac{2x^2 - 6x - 8}{(2x-3)^2}\]
  • Найдем, когда производная равна нулю, чтобы найти точки экстремума:
\[2x^2 - 6x - 8 = 0\] \[x^2 - 3x - 4 = 0\] \[(x - 4)(x + 1) = 0\] \[x_1 = 4, \quad x_2 = -1\]
  • Определим знаки производной на различных интервалах:
\[(-\infty, -1): \quad f'(-2) = \frac{2(-2)^2 - 6(-2) - 8}{(2(-2)-3)^2} = \frac{8 + 12 - 8}{49} = \frac{12}{49} > 0\] \[(-1, 1.5): \quad f'(0) = \frac{-8}{9} < 0\] \[(1.5, 4): \quad f'(2) = \frac{2(2)^2 - 6(2) - 8}{(2(2)-3)^2} = \frac{8 - 12 - 8}{1} = -12 < 0\] \[(4, \infty): \quad f'(5) = \frac{2(5)^2 - 6(5) - 8}{(2(5)-3)^2} = \frac{50 - 30 - 8}{49} = \frac{12}{49} > 0\]
  • Таким образом, функция возрастает на интервалах \((-\infty, -1)\) и \((4, \infty)\), убывает на интервалах \((-1, 1.5)\) и \((1.5, 4)\).
  • Точки экстремума: \(x = -1\) (максимум) и \(x = 4\) (минимум).
  • Найдем значения функции в точках экстремума:
\[f(-1) = \frac{(-1)^2 + 4}{2(-1) - 3} = \frac{5}{-5} = -1\] \[f(4) = \frac{4^2 + 4}{2(4) - 3} = \frac{20}{5} = 4\]
  • Но у нас есть еще точка разрыва \(x = 1.5\), поэтому:
  • Функция возрастает на (−∞, -1] ∪ [4, ∞)
  • Функция убывает на [-1, 1.5) ∪ (1.5, 4]
  • Однако, функция не существует при x=1.5, то функция возрастает на (−∞, 1.5) ∪ (1.5, ∞), экстремумов нет.

Ответ: Функция возрастает на (−∞, 1.5) ∪ (1.5, ∞), экстремумов нет.

Ты – Математический Маэстро!

Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс.

Выручи свою тиму — отправь ссылку другу. Карма +100 обеспечена.

ГДЗ по фото 📸