Please provide the solution to the integral shown in the image.

Определение площади под кривой

На изображении показан график функции \( y = 4x^2 \). Заштрихованная область представляет собой площадь под этой кривой между \( x = -1 \) и \( x = 0 \).

Чтобы найти эту площадь, нам нужно вычислить определённый интеграл функции \( y = 4x^2 \) от \( -1 \) до \( 0 \).

Формула для вычисления площади:

\[ A = \int_{a}^{b} f(x) dx \]

В нашем случае \( f(x) = 4x^2 \), \( a = -1 \) и \( b = 0 \).

Вычисление интеграла:

1. Находим первообразную для \( 4x^2 \). Первообразная для \( x^n \) — это \( \frac{x^{n+1}}{n+1} \). Таким образом, первообразная для \( 4x^2 \) равна \( 4 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 4 \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{4}{3}x^3 \).
2. Теперь вычисляем определённый интеграл, подставляя верхний и нижний пределы интегрирования в первообразную и вычитая результат нижнего предела из результата верхнего:
\[ A = \left[ \frac{4}{3}x^3 \right]_{-1}^{0} \] \[ A = \left( \frac{4}{3}(0)^3 \right) - \left( \frac{4}{3}(-1)^3 \right) \] \[ A = (0) - \left( \frac{4}{3}(-1) \right) \] \[ A = 0 - \left( -\frac{4}{3} \right) \] \[ A = \frac{4}{3} \]

Ответ: Площадь равна $$\frac{4}{3}$$.