3. Пирамида, усеченная пирамида Найти объем правильной пирамиды 5 M A 10 D 18 C B го 6. Шар и сфера, их сечения Из центра сферы с диаметром 18 провели два радиуса, угол между которыми 60°. Чему равно расстояние между концами радиусов, лежащих на сфере?

Решение задачи 3:

• Шаг 1: Найдем сторону основания.

Рассмотрим треугольник AOB. Так как пирамида правильная, то в основании лежит квадрат. AO = OB как половины диагоналей квадрата, и углы OAB и OBA равны 45 градусам. Используем теорему Пифагора для треугольника AOD, чтобы найти сторону квадрата AB:

\[AB^2 = AO^2 + OB^2 = 2AO^2\]

Из условия AD = 10. AO можно найти через теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике AOD:

\[AO = \sqrt{AD^2 - DO^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6\]

Теперь найдем сторону квадрата AB:

\[AB = \sqrt{2AO^2} = \sqrt{2 \cdot 6^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}\]

• Шаг 2: Найдем площадь основания.

Площадь основания (квадрата) равна:

\[S_{осн} = AB^2 = (6\sqrt{2})^2 = 36 \cdot 2 = 72\]

• Шаг 3: Найдем объем пирамиды.

Объем пирамиды равен:

\[V = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 72 \cdot 5 = 24 \cdot 5 = 120\]

Таким образом, объем пирамиды равен 120.

• Шаг 4: Учитываем усеченность пирамиды

Поскольку верхняя часть пирамиды отсечена, нам нужно найти объем исходной полной пирамиды и вычесть объем отсеченной пирамиды. Однако, у нас нет данных о размерах верхней пирамиды. Можно предположить, что отношение высот и сторон оснований верхней и нижней пирамиды пропорциональны. Тогда:

• Шаг 5: Найдем объем исходной полной пирамиды

Пусть вся высота пирамиды (от вершины до основания) будет H. Тогда H = 5 + 8 = 13. Если площадь основания усеченной пирамиды равна 72, найдем площадь основания полной пирамиды. Отношение высот 5/13 равно отношению сторон оснований. Пусть сторона полной пирамиды равна x.

\[ \frac{5}{13} = \frac{x}{6\sqrt{2}} \]

\[ x = \frac{5 \cdot 6\sqrt{2}}{13} = \frac{30\sqrt{2}}{13} \]

Площадь верхней пирамиды:

\[ S_{верх} = x^2 = (\frac{30\sqrt{2}}{13})^2 = \frac{900 \cdot 2}{169} = \frac{1800}{169} \]

• Шаг 6: Найдем объем верхней пирамиды:

\[ V_{верх} = \frac{1}{3} \cdot S_{верх} \cdot h_{верх} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1800}{169} \cdot 5 = \frac{3000}{507} = \frac{1000}{169} \]

• Шаг 7: Найдем объем нижней пирамиды:

\[ V_{полн} = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 72 \cdot 13 = 24 \cdot 13 = 312 \]

\[ V_{усеч} = V_{полн} - V_{верх} = 312 - \frac{1000}{169} = \frac{312 \cdot 169 - 1000}{169} = \frac{52608 - 1000}{169} = \frac{51608}{169} \approx 305.37 \]

Однако в условии дано, что высота малой пирамиды равна 5, а площадь основания большой пирамиды равна 72, а высота большой пирамиды равна 8. Тогда:

\[ V_{малой} = \frac{1}{3} \cdot S \cdot 5\]

\[ V_{большой} = \frac{1}{3} \cdot 72 \cdot 8 = 192 \]

Поскольку сторона основания малой пирамиды не дана, то решить задачу нельзя.

Решение задачи 6:

• Шаг 1: Определим радиус сферы.

Так как диаметр сферы равен 18, то её радиус равен половине диаметра:

\[R = \frac{18}{2} = 9\]

• Шаг 2: Найдем расстояние между концами радиусов.

Рассмотрим треугольник, образованный двумя радиусами и расстоянием между их концами. Этот треугольник равнобедренный, так как два радиуса равны. Угол между радиусами равен 60°. Обозначим расстояние между концами радиусов как d. Используем теорему косинусов:

\[d^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R \cdot R \cdot \cos(60°)\]

\[d^2 = 9^2 + 9^2 - 2 \cdot 9 \cdot 9 \cdot \frac{1}{2}\]

\[d^2 = 81 + 81 - 81 = 81\]

\[d = \sqrt{81} = 9\]

Расстояние между концами радиусов равно 9.