Пирамида пересечена плоскостью, параллельной основанию. Площадь основания равна 1445 дм², а площадь сечения равна 5 дм². В каком отношении, считая от вершины, плоскость сечения делит высоту пирамиды?

Решение:

Площади подобных фигур относятся как квадраты их линейных размеров. В данном случае, площадь сечения и площадь основания являются площадями подобных многоугольников (основания пирамиды и сечения), а их высоты, проведённые из вершины, являются линейными размерами.

Обозначим:

• \( S_{осн} \) — площадь основания пирамиды;
• \( S_{сеч} \) — площадь сечения;
• \( h \) — высота пирамиды;
• \( h_1 \) — высота от вершины до плоскости сечения.

Из условия имеем:

• \( S_{осн} = 1445 \) дм²
• \( S_{сеч} = 5 \) дм²

Отношение площадей равно квадрату отношения высот:

\[ \frac{S_{сеч}}{S_{осн}} = \left( \frac{h_1}{h} \right)^2 \]\[ \frac{5}{1445} = \left( \frac{h_1}{h} \right)^2 \]\[ \frac{1}{289} = \left( \frac{h_1}{h} \right)^2 \]\[ \frac{h_1}{h} = \sqrt{\frac{1}{289}} = \frac{1}{17} \]

Это значит, что высота от вершины до плоскости сечения составляет \( \frac{1}{17} \) всей высоты пирамиды.

Если высота делится в отношении \( h_1 : h_2 \), где \( h_1 \) — часть от вершины, а \( h_2 \) — часть от основания, то \( h_1 + h_2 = h \).

Так как \( h_1 = \frac{1}{17}h \), то \( h_2 = h - h_1 = h - \frac{1}{17}h = \frac{16}{17}h \).

Отношение, в котором плоскость сечения делит высоту пирамиды, считая от вершины, равно \( h_1 : h_2 \).

\[ h_1 : h_2 = \frac{1}{17}h : \frac{16}{17}h \]

Умножим обе части на 17, чтобы избавиться от дробей:

\[ 1 : 16 \]

Ответ: 1 : 16