Первый и второй насосы наполняют бассейн за 10 минут, второй и третий — за 14 минут, а первый и третий — за 15 минут. За сколько минут эти насосы заполнят бассейн, работая вместе?

Решение:

Обозначим производительность первого насоса как \( x \) (бассейна в минуту), второго как \( y \), третьего как \( z \). Всего бассейн — 1 целый бассейн.

По условию задачи имеем систему уравнений:

1. \( (x + y) · 10 = 1 \)
2. \( (y + z) · 14 = 1 \)
3. \( (x + z) · 15 = 1 \)

Из этих уравнений выразим производительность каждой пары насосов:

1. \( x + y = \frac{1}{10} \)
2. \( y + z = \frac{1}{14} \)
3. \( x + z = \frac{1}{15} \)

Сложим все три уравнения:

\( (x + y) + (y + z) + (x + z) = \frac{1}{10} + \frac{1}{14} + \frac{1}{15} \)

\( 2x + 2y + 2z = \frac{105 + 75 + 70}{1050} \)

\( 2(x + y + z) = \frac{250}{1050} \)

\( 2(x + y + z) = \frac{25}{105} = \frac{5}{21} \)

Теперь найдём общую производительность всех трёх насосов:

\( x + y + z = \frac{5}{21} \div 2 = \frac{5}{42} \) (бассейна в минуту).

Чтобы найти время, за которое все три насоса заполнят бассейн вместе, нужно разделить объём бассейна (1) на их общую производительность:

\( T = \frac{1}{x+y+z} = \frac{1}{\frac{5}{42}} = \frac{42}{5} \)

\( T = 8.4 \) минуты.

Ответ: 8.4