Первая труба пропускает на 4 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 96 литров она заполняет на 4 минуты быстрее, чем первая труба?

Решение:

Пусть \( x \) л/мин — производительность второй трубы.

Тогда \( x - 4 \) л/мин — производительность первой трубы.

Время заполнения резервуара второй трубой: \( \frac{96}{x} \) мин.

Время заполнения резервуара первой трубой: \( \frac{96}{x - 4} \) мин.

По условию, вторая труба заполняет резервуар на 4 минуты быстрее первой:

\[ \frac{96}{x - 4} - \frac{96}{x} = 4 \]

Умножим обе части уравнения на \( x(x - 4) \) для устранения знаменателей:

\[ 96x - 96(x - 4) = 4x(x - 4) \]

Раскроем скобки:

\[ 96x - 96x + 384 = 4x^2 - 16x \]

Упростим уравнение:

\[ 384 = 4x^2 - 16x \]

Разделим все члены на 4:

\[ 96 = x^2 - 4x \]

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ x^2 - 4x - 96 = 0 \]

Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-96) = 16 + 384 = 400 \]

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня. Найдём корни:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 20}{2} = \frac{24}{2} = 12 \]

\( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 20}{2} = \frac{-16}{2} = -8 \]

Производительность трубы не может быть отрицательной, поэтому \( x = 12 \) л/мин.

Проверим условие:

Производительность второй трубы: \( 12 \) л/мин.

Производительность первой трубы: \( 12 - 4 = 8 \) л/мин.

Время заполнения второй трубой: \( \frac{96}{12} = 8 \) мин.

Время заполнения первой трубой: \( \frac{96}{8} = 12 \) мин.

Разница во времени: \( 12 - 8 = 4 \) мин. Условие выполнено.

Ответ: 12 л/мин.