Перечень билетов для зачета по геометрии в 8 классе в 2026 году. Билет № 1 1) Дайте определение многоугольника, вершины, стороны, диагонали и периметра многоугольника. Запишите формулу суммы углов выпуклого многоугольника. 2) Сформулируйте теоремы о средних линиях треугольника и трапеции. Докажите одну из них по выбору. 3) Радиус ОВ окружности с центром в точке О пересекает хорду АС в точке D и перпендикулярен ей. Найдите длину хорды АС, если BD=1см, а радиус окружности равен 5см. 4) Периметр прямоугольника равен 56, а диагональ равна 20. Найдите площадь этого прямоугольника.

Решение:

1. Определение многоугольника

Многоугольник — это геометрическая фигура, которая состоит из конечного числа отрезков (сторон), соединяющих точки (вершины) на плоскости так, что никакие три последовательные вершины не лежат на одной прямой, и никакие две непересекающиеся стороны не пересекаются.

Вершины — точки, где сходятся стороны многоугольника.

Стороны — отрезки, образующие многоугольник.

Диагонали — отрезки, соединяющие любые две не соседние вершины многоугольника.

Периметр — сумма длин всех сторон многоугольника.

Формула суммы углов выпуклого многоугольника:

Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна \( S = (n-2) \cdot 180^{\circ} \).

2. Теоремы о средних линиях

Теорема о средней линии треугольника: Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна половине этой стороны.

Теорема о средней линии трапеции: Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна полусумме оснований.

Доказательство теоремы о средней линии треугольника:

Пусть \( ABC \) — данный треугольник, \( MN \) — средняя линия, где \( M \) — середина \( AB \), \( N \) — середина \( AC \).

Построим точку \( K \) так, чтобы \( M \) была серединой отрезка \( NK \). Тогда четырёхугольник \( ABCK \) — параллелограмм, так как его диагонали \( AK \) и \( BC \) делятся точкой пересечения \( M \) пополам.

Отсюда \( NK \) параллельно \( AB \) и \( NK = AB \).

Рассмотрим треугольники \( AMN \) и \( KNC \).

\( AM = MB \) (по условию).

\( MN \) параллельно \( BC \), а значит, \( MN \) параллельно \( KC \).

\( ∠ AMN = ∠ KBC \) (как накрест лежащие при параллельных \( MN \) и \( BC \) и секущей \( BK \)).

\( ∠ ANM = ∠ KCB \) (как накрест лежащие при параллельных \( NK \) и \( BC \) и секущей \( AC \)).

\( ∠ MAN = ∠ BKC \) (как накрест лежащие при параллельных \( AB \) и \( KC \) и секущей \( BC \)).

\( ∣ AMN = ∣ KNC \) (по трём углам, или так как \( AM = KC = \frac{1}{2} AB \) и \( AN = NC \)).

Из равенства треугольников следует, что \( MN = NC \). Так как \( NK = AB \) и \( MN = \frac{1}{2} NK \), то \( MN = \frac{1}{2} AB \).

Также из равенства треугольников следует, что \( AN = KN \).

Рассмотрим треугольник \( ABK \). \( M \) — середина \( AB \), \( N \) — середина \( AK \). Значит, \( MN \) — средняя линия треугольника \( ABK \). Следовательно, \( MN \) параллельна \( BK \) и \( MN = \frac{1}{2} BK \).

Так как \( BK \) параллельна \( AC \) (из построения параллелограмма), то \( MN \) параллельна \( AC \).

3. Радиус окружности

Дано: \( OB = 5 \text{ см} \) (радиус), \( BD = 1 \text{ см} \), \( OD ⊥ AC \).

Найти: \( AC \).

Решение:

Так как \( OD ⊥ AC \), то \( D \) — середина хорды \( AC \). Значит, \( AC = 2 AD \).

\( R = OB = OA = OC = 5 \text{ см} \).

Рассмотрим \( △ ODA \) — прямоугольный треугольник, так как \( OD ⊥ AC \).

\( OA \) — гипотенуза, \( OA = 5 \text{ см} \).

\( OD = OB - BD = 5 - 1 = 4 \text{ см} \).

По теореме Пифагора найдём \( AD \):

\[ AD^2 = OA^2 - OD^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9 \]

\[ AD = √9 = 3 \text{ см} \]

Теперь найдём \( AC \):

\[ AC = 2 AD = 2 · 3 = 6 \text{ см} \]

Ответ: 6 см.

4. Площадь прямоугольника

Дано: Периметр \( P = 56 \text{ см} \), диагональ \( d = 20 \text{ см} \).

Найти: Площадь \( S \).

Решение:

Пусть стороны прямоугольника равны \( a \) и \( b \).

Периметр прямоугольника: \( P = 2(a+b) \).

\[ 56 = 2(a+b) \]

\[ a+b = \frac{56}{2} = 28 \]

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного сторонами \( a, b \) и диагональю \( d \):

\[ a^2 + b^2 = d^2 \]

\[ a^2 + b^2 = 20^2 = 400 \]

Мы имеем систему уравнений:

\[ \begin{cases} a+b = 28 \ a^2+b^2 = 400
\end{cases} \]

Возведём первое уравнение в квадрат:

\[ (a+b)^2 = 28^2 \]

\[ a^2 + 2ab + b^2 = 784 \]

Подставим \( a^2 + b^2 = 400 \) в полученное уравнение:

\[ 400 + 2ab = 784 \]

\[ 2ab = 784 - 400 = 384 \]

\[ ab = \frac{384}{2} = 192 \]

Площадь прямоугольника \( S = ab \).

\[ S = 192 \text{ см}^2 \]

Ответ: 192 см².