Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (см. рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах указаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.

Решение:

На рисунке 2 показан разрез верхней части кожуха печи. Мы видим, что арка кожуха представляет собой дугу окружности. Длина проема арки составляет 42 см, а высота от основания до верхней точки арки — 72 см. Центр окружности, описывающей арку, находится на середине нижней части проема.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный:

• Катетом, равным половине ширины проема: \( \frac{42}{2} = 21 \) см.
• Вторым катетом, который является частью радиуса, и его длина равна высоте арки минус расстояние от центра до верхней точки проема. Так как центр находится на середине нижней части проема, то расстояние от центра до верхней точки проема равно высоте арки, то есть 72 см. Следовательно, этот катет равен \( 72 - R \) см.
• Гипотенузой, которая является радиусом окружности \( R \).

По теореме Пифагора:

\[ 21^2 + (72 - R)^2 = R^2 \]\[ 441 + 5184 - 144R + R^2 = R^2 \]\[ 5625 - 144R = 0 \]\[ 144R = 5625 \]\[ R = \frac{5625}{144} \]\[ R = 39.0625 \] см.

Ответ: 39.0625 см.