Паук находится в точке А своей паутины. За один шаг он может переползти в новый узел паутины, переместившись вправо-вверх или вправо-вниз. Сколькими способами он может добраться в точку В, двигаясь по своим паутинкам?

Решение:

Эта задача решается методом динамического программирования, где мы считаем количество путей до каждой точки паутины.

Обозначим через \( N(x, y) \) количество способов добраться до узла с координатами \( (x, y) \), где \( x \) — номер горизонтальной линии (считая от паука), а \( y \) — номер вертикальной линии (считая от левого края).

Паук начинает в точке А, которую можно обозначить как \( (0, 0) \). Точка В находится на 4-й горизонтальной линии и 8-й вертикальной линии, то есть \( (4, 8) \).

Правило перехода: \( N(x, y) = N(x-1, y-1) + N(x-1, y+1) \)

Исходные данные:

• \( N(0, 0) = 1 \)
• Все остальные \( N \) на первой горизонтали равны 0.

Рассчитаем количество способов для каждой горизонтали:

Горизонталь 1:

• \( N(1, 1) = N(0, 0) + N(0, 2) = 1 + 0 = 1 \)
• \( N(1, -1) = N(0, 0) + N(0, -2) = 1 + 0 = 1 \) (или, если считать симметрично, \( N(1, 1) = 1 \))

Горизонталь 2:

• \( N(2, 2) = N(1, 1) + N(1, 3) = 1 + 0 = 1 \)
• \( N(2, 0) = N(1, -1) + N(1, 1) = 1 + 1 = 2 \)
• \( N(2, -2) = N(1, -3) + N(1, -1) = 0 + 1 = 1 \) (или, если считать симметрично, \( N(2, 2) = 1, N(2, 1) = 2, N(2, 0) = 1 \))

Горизонталь 3:

• \( N(3, 3) = N(2, 2) + N(2, 4) = 1 + 0 = 1 \)
• \( N(3, 1) = N(2, 0) + N(2, 2) = 2 + 1 = 3 \)
• \( N(3, -1) = N(2, -2) + N(2, 0) = 1 + 2 = 3 \) (или, если считать симметрично, \( N(3, 3) = 1, N(3, 2) = 3, N(3, 1) = 3, N(3, 0) = 1 \))

Горизонталь 4:

• \( N(4, 4) = N(3, 3) + N(3, 5) = 1 + 0 = 1 \)
• \( N(4, 2) = N(3, 1) + N(3, 3) = 3 + 1 = 4 \)
• \( N(4, 0) = N(3, -1) + N(3, 1) = 3 + 3 = 6 \)
• \( N(4, -2) = N(3, -3) + N(3, -1) = 0 + 3 = 3 \) (или, если считать симметрично, \( N(4, 4) = 1, N(4, 3) = 4, N(4, 2) = 6, N(4, 1) = 4, N(4, 0) = 1 \))

Точка В находится на 8-й вертикали (если считать точки на последней горизонтали). Таким образом, нам нужно найти количество путей до узла, который является 4-м шагом вглубь паутины и 8-м шагом вправо.

В данной задаче, точка В является 4-й горизонтальной линией и 8-й вертикальной линией от точки А. Если построить таблицу, она будет выглядеть так:

Точка В находится на 4-й горизонтали и 8-й вертикали. На пересечении \( 4 \) и \( 8 \) значение равно \( 1 \).

Переосмыслив задачу:

Паук находится в точке А. Ему нужно добраться до точки В. Шаги: вправо-вверх или вправо-вниз.

Путь до точки В занимает 4 шага по вертикали (от самой верхней до самой нижней точки паутины) и 8 шагов по горизонтали. Это означает, что пауку нужно сделать 4 шага вверх и 4 шага вниз, чтобы добраться до точки B, которая находится на той же горизонтали, что и начальная точка А, но на 8 узлов правее.

Это классическая задача о количестве путей на решетке, которая решается с помощью биномиальных коэффициентов. Для того чтобы добраться до точки B, пауку нужно сделать 8 шагов вправо. Из этих 8 шагов, он должен сделать \( k \) шагов вверх и \( 8-k \) шагов вниз. Однако, паутина имеет ограниченную высоту. На самой верхней линии паук может двигаться только вправо-вниз. На самой нижней линии — только вправо-вверх.

Пусть \( A \) — это \( (0, 0) \) и \( B \) — это \( (8, 0) \) в координатах (шаги вправо, смещение по вертикали). Паук делает 8 шагов. Каждый шаг — это либо \( (1, 1) \), либо \( (1, -1) \).

Количество путей до \( (x, y) \) равно \( C(x, (x+y)/2) \), где \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент.

В нашем случае, \( x = 8 \). Точка \( B \) находится на той же горизонтальной линии, что и \( A \), поэтому \( y = 0 \). Следовательно, \( (x+y)/2 = (8+0)/2 = 4 \).

Количество способов равно \( C(8, 4) \).

\[ C(8, 4) = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{1680}{24} = 70 \]

Ответ: 70