Параллельная оси цилиндра плоскость отсекает от окружности основания дугу в 120°. Площадь сечения цилиндра этой плоскостью равна 120 кв. ед. Изм. Определи расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения, если высота цилиндра равна 20 ед. изм. Ответ: расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения равно ед. изм. (Если корня в ответе нет, под корнем пиши 1.)

Ответ: \( 5 \sqrt{3} \)

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Найдем радиус основания цилиндра.

Площадь сечения цилиндра равна произведению высоты цилиндра на длину хорды, отсекаемой плоскостью от основания цилиндра. Пусть r - радиус основания, тогда длина хорды равна 2r\(\sin{\frac{\alpha}{2}}\), где \(\alpha\) - угол дуги, отсекаемой хордой. В нашем случае \(\alpha = 120^\circ\).

Площадь сечения: \[ S = h \cdot 2r \sin{\frac{\alpha}{2}} \] Отсюда радиус основания равен: \[ r = \frac{S}{2h \sin{\frac{\alpha}{2}}} = \frac{120}{2 \cdot 20 \cdot \sin{60^\circ}} = \frac{120}{40 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{120}{20\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \]

• Шаг 2: Найдем расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения.

Расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения равно расстоянию от центра основания цилиндра до хорды. Это расстояние можно найти как \[ d = r \cos{\frac{\alpha}{2}} \] В нашем случае: \[ d = 2\sqrt{3} \cos{60^\circ} = 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{3} \] Тогда искомое расстояние \[ \frac{60}{\sqrt{3}} = \frac{5 \times 12}{\sqrt{3}} = 5\sqrt{3}\]

Ответ: \( 5 \sqrt{3} \)