Оцените выражение, т.е. укажите его наименьшее и наибольшее значение: 1) 1 + 2sin a; 2) 4sin a + 1; 3) 1-3cos a; 4) 2sin x + 3; 5) 2cos²a; 6) 5+2cos²x; 7) 1-4cos²x; 8) 4+ cos(a-15°); 9) 2-sin (α-β).

Question

Вопрос:

Оцените выражение, т.е. укажите его наименьшее и наибольшее значение: 1) 1 + 2sin a; 2) 4sin a + 1; 3) 1-3cos a; 4) 2sin x + 3; 5) 2cos²a; 6) 5+2cos²x; 7) 1-4cos²x; 8) 4+ cos(a-15°); 9) 2-sin (α-β).

Ответ:

Accepted Answer

Краткое пояснение: Оцениваем каждое выражение, используя известные границы значений синуса и косинуса, а также основного тригонометрического тождества.

Пошаговое решение:

1) \(1 + 2\sin \alpha\):
\(\sin \alpha\) изменяется от -1 до 1.
Поэтому \(2\sin \alpha\) изменяется от -2 до 2.
Следовательно, \(1 + 2\sin \alpha\) изменяется от \(1 - 2 = -1\) до \(1 + 2 = 3\).
Наименьшее значение: -1, наибольшее значение: 3.
2) \(4\sin \alpha + 1\):
\(\sin \alpha\) изменяется от -1 до 1.
Поэтому \(4\sin \alpha\) изменяется от -4 до 4.
Следовательно, \(4\sin \alpha + 1\) изменяется от \(-4 + 1 = -3\) до \(4 + 1 = 5\).
Наименьшее значение: -3, наибольшее значение: 5.
3) \(1 - 3\cos \alpha\):
\(\cos \alpha\) изменяется от -1 до 1.
Поэтому \(-3\cos \alpha\) изменяется от -3 до 3.
Следовательно, \(1 - 3\cos \alpha\) изменяется от \(1 - 3 = -2\) до \(1 + 3 = 4\).
Наименьшее значение: -2, наибольшее значение: 4.
4) \(2\sin x + 3\):
\(\sin x\) изменяется от -1 до 1.
Поэтому \(2\sin x\) изменяется от -2 до 2.
Следовательно, \(2\sin x + 3\) изменяется от \(-2 + 3 = 1\) до \(2 + 3 = 5\).
Наименьшее значение: 1, наибольшее значение: 5.
5) \(2\cos^2 \alpha\):
\(\cos^2 \alpha\) изменяется от 0 до 1.
Поэтому \(2\cos^2 \alpha\) изменяется от 0 до 2.
Наименьшее значение: 0, наибольшее значение: 2.
6) \(5 + 2\cos^2 x\):
\(\cos^2 x\) изменяется от 0 до 1.
Поэтому \(2\cos^2 x\) изменяется от 0 до 2.
Следовательно, \(5 + 2\cos^2 x\) изменяется от \(5 + 0 = 5\) до \(5 + 2 = 7\).
Наименьшее значение: 5, наибольшее значение: 7.
7) \(1 - 4\cos^2 x\):
\(\cos^2 x\) изменяется от 0 до 1.
Поэтому \(-4\cos^2 x\) изменяется от -4 до 0.
Следовательно, \(1 - 4\cos^2 x\) изменяется от \(1 - 4 = -3\) до \(1 + 0 = 1\).
Наименьшее значение: -3, наибольшее значение: 1.
8) \(4 + \cos(\alpha - 15^\circ)\):
\(\cos(\alpha - 15^\circ)\) изменяется от -1 до 1.
Следовательно, \(4 + \cos(\alpha - 15^\circ)\) изменяется от \(4 - 1 = 3\) до \(4 + 1 = 5\).
Наименьшее значение: 3, наибольшее значение: 5.
9) \(2 - \sin(\alpha - \beta)\):
\(\sin(\alpha - \beta)\) изменяется от -1 до 1.
Поэтому \(-\sin(\alpha - \beta)\) изменяется от -1 до 1.
Следовательно, \(2 - \sin(\alpha - \beta)\) изменяется от \(2 - 1 = 1\) до \(2 + 1 = 3\).
Наименьшее значение: 1, наибольшее значение: 3.