Оцените минимальный период обращения спутника нейтронной звезды. Плотность нейтронной звезды принять р = 10¹⁷ кг/м³.

Решение:

Минимальный период обращения спутника вокруг массивного объекта (в данном случае, нейтронной звезды) соответствует случаю, когда орбита спутника проходит на минимально возможном расстоянии, близком к радиусу самого объекта. Для оцен-ки минимального периода можно считать, что спутник движется по круговой орбите на расстоянии, равном радиусу нейтронной звезды (R). В этом случае гравитационная сила обеспечивает центростремительное ускорение.

Формула для скорости кругового движения:

\( v = \sqrt{\frac{GM}{R}} \)

где:

• \( G \) — гравитационная постоянная (приблизительно \( 6.674 \times 10^{-11} \text{ Н⋅м²/кг²} \))
• \( M \) — масса нейтронной звезды
• \( R \) — радиус нейтронной звезды

Период обращения \( T \) связан со скоростью и радиусом соотношением:

\( T = \frac{2 \pi R}{v} \)

Подставляем выражение для \( v \) в формулу для \( T \):

\( T = \frac{2 \pi R}{\sqrt{\frac{GM}{R}}} = 2 \pi R \sqrt{\frac{R}{GM}} = 2 \pi \sqrt{\frac{R^3}{GM}} \)

Массу \( M \) можно выразить через плотность \( \rho \) и радиус \( R \), предполагая сферическую форму звезды:

\( M = \rho \cdot V = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3 \)

Подставляем массу в формулу для периода:

\( T = 2 \pi \sqrt{\frac{R^3}{G \cdot \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3}} = 2 \pi \sqrt{\frac{R^3}{G \cdot \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3}} = 2 \pi \sqrt{\frac{1}{G \cdot \rho \cdot \frac{4}{3} \pi}} = 2 \pi \sqrt{\frac{3}{4 \pi G \rho}} = \sqrt{\frac{4 \pi^2 \cdot 3}{4 \pi G \rho}} = \sqrt{\frac{3 \pi}{G \rho}} \)

Теперь подставим известные значения:

• \( G \approx 6.674 \times 10^{-11} \text{ Н⋅м²/кг²} \)
• \( \rho = 10^{17} \text{ кг/м³} \)
• \( \pi \approx 3.14159 \)

\( T = \sqrt{\frac{3 \times \pi}{G \times \rho}} \)

\( T \approx \sqrt{\frac{3 \times 3.14159}{6.674 \times 10^{-11} \times 10^{17}}} \)

\( T \approx \sqrt{\frac{9.42477}{6.674 \times 10^6}} \)

\( T \approx \sqrt{1.4122 \times 10^{-6}} \)

\( T \approx 1.188 \times 10^{-3} \text{ секунд} \)

Для более точного расчета, радиус нейтронной звезды обычно составляет около 10-20 км (\( 1-2 \times 10^4 \text{ м} \)). Если использовать радиус \( R = 10 \text{ км} = 10^4 \text{ м} \), то масса \( M = \rho \frac{4}{3} \pi R^3 \approx 10^{17} \frac{4}{3} \pi (10^4)^3 \approx 4.188 \times 10^{17} \times 10^{12} = 4.188 \times 10^{29} \text{ кг} \) (что близко к массе Солнца).

Скорость на орбите радиусом R:

\( v = \sqrt{\frac{GM}{R}} = \sqrt{\frac{6.674 \times 10^{-11} \times 4.188 \times 10^{29}}{10^4}} = \sqrt{\frac{2.795 \times 10^{19}}{10^4}} = \sqrt{2.795 \times 10^{15}} \approx 5.287 \times 10^7 \text{ м/с} \)

Период обращения:

\( T = \frac{2 \pi R}{v} = \frac{2 \pi \times 10^4}{5.287 \times 10^7} = \frac{6.283 \times 10^4}{5.287 \times 10^7} \approx 1.188 \times 10^{-3} \text{ секунд} \)

Результат очень близок, так как формула \( T = \sqrt{\frac{3 \pi}{G \rho}} \) не зависит от \( R \) явно, но радиус \( R \) влияет на массу \( M \) при заданной плотности.

Ответ: Минимальный период обращения спутника нейтронной звезды составляет приблизительно \( 1.19 \times 10^{-3} \text{ секунд} \).