647 Отрезок АН перпендикуляр, проведённый из точки А к прямой, проходящей через центр О окружности ради- уса 3 см. Является ли прямая АН касательной к окружно- сти, если: а) ОА = 5 см, АН = 4 см; б) ∠HAO = 45°, ОА = 4 см; B) ∠HAO = 30°, ОА = 6 см?

• Прямая AH является касательной к окружности, если она перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. То есть, угол OHA должен быть прямым (90 градусов).

• a) OA = 5 см, AH = 4 см, радиус OH = 3 см:

Проверим, выполняется ли теорема Пифагора для треугольника OHA: OA² = OH² + AH²

• 5² = 3² + 4²
• 25 = 9 + 16
• 25 = 25

Теорема Пифагора выполняется, значит, треугольник OHA прямоугольный, и угол OHA = 90 градусов. Следовательно, AH является касательной.

• б) ∠HAO = 45°, OA = 4 см, радиус OH = 3 см:

Если ∠HAO = 45°, то в прямоугольном треугольнике OHA угол ∠HOA должен быть 45° (так как сумма углов в треугольнике 180°, и ∠OHA = 90°).

В таком случае, OH = AH. Но у нас OH = 3 см, а OA = 4 см. AH ≠ OH. Значит, прямая AH не является касательной.

• в) ∠HAO = 30°, OA = 6 см, радиус OH = 3 см:

В прямоугольном треугольнике OHA, если ∠HAO = 30°, то OH должен быть равен половине OA (катет, лежащий против угла 30°).

• OH = 3 см, OA = 6 см.
• OH = 1/2 OA

Значит, прямая AH является касательной.