1. Отрезки EF и PQ пересекаются в их середине М. Докажите, что PEQF.

Для доказательства, что прямые PE и QF параллельны (PE || QF), рассмотрим треугольники PEM и QFM, где M – точка пересечения отрезков EF и PQ.

1. По условию, M – середина отрезков EF и PQ. Это означает, что EM = MF и PM = MQ.
2. Углы ∠PME и ∠QMF вертикальные, следовательно, ∠PME = ∠QMF.
3. Таким образом, треугольники PEM и QFM равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними): EM = MF, PM = MQ и ∠PME = ∠QFM.
4. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠EPM = ∠MQF. Эти углы являются накрест лежащими углами при прямых PE, QF и секущей PQ.
5. Равенство накрест лежащих углов ∠EPM и ∠MQF указывает на то, что прямые PE и QF параллельны.

Ответ: Прямые PE и QF параллельны, что и требовалось доказать.