332 Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О. Докажите, что OC = OD, если АС = АО = BO = BD. Задачи к главам III и IV 333 Прямые, содержащие биссектрисы внешних углов при верши- нах В и С треугольника АВС, пересекаются в точке О. Найди- те угол ВОС, если угол А равен с. 334 Через каждую вершину данного треугольника проведена прямая, перпендикулярная к биссектрисе треугольника, ис- ходящей из этой вершины. Отрезки этих прямых вместе со сторонами данного треугольника образуют три треугольни- ка. Докажите, что углы этих треугольников соответственно равны. 335 В каждом из следующих случаев определите вид треугольника: а) сумма любых двух углов больше 90°; б) каждый угол меньше суммы двух других углов. 336 Докажите, что угол треугольника является острым, прямым или тупым, если медиана, проведённая из вершины этого угла, соответственно больше, равна или меньше половины противоположной стороны. 337 Внутри равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС взята такая точка М, что ∠MBC = 30°, ∠MCB = 10°. Найдите угол АМС, если ∠BAC = 80°. 338 Докажите, что любой отрезок с концами на разных сторонах треугольника не больше наибольшей из сторон треугольника. 339 Отрезок ВВ₁ — биссектриса треугольника АВС Поном

332

Для решения этой задачи необходимо использовать свойства равнобедренных треугольников и равенство углов.

Доказательство:

• Так как OC = OD и AO = BO, то треугольники AOD и BOC равнобедренные.
• Из равенства AC = AO = BO = BD следует, что все четыре отрезка равны между собой.
• Рассмотрим треугольники AOC и BOD. У них AO = BO, CO = DO и угол AOD = угол BOC (вертикальные углы). Следовательно, треугольники AOC и BOD равны по двум сторонам и углу между ними.
• Из равенства треугольников AOC и BOD следует равенство углов: угол OAC = угол OBD и угол OCA = угол ODB.
• Рассмотрим треугольники AOD и BOC. У них AO = BO, DO = CO и угол AOD = угол BOC (вертикальные). Следовательно, треугольники AOD и BOC равны.
• Из равенства треугольников AOD и BOC следует равенство углов: угол OAD = угол OBC и угол ODA = угол OCB.
• Так как треугольники AOD и BOC равнобедренные, то углы при их основаниях равны. Следовательно, угол OAD = угол ODA и угол OBC = угол OCB.
• Из равенства углов OAC = OBD и OAD = OBC следует, что углы CAD и CBD равны. Аналогично, из равенства углов OCA = ODB и ODA = OCB следует, что углы ACD и BDC равны.
• Таким образом, в четырехугольнике ABCD углы CAD = CBD и ACD = BDC. Это означает, что ABCD - равнобокая трапеция.
• В равнобокой трапеции углы при основаниях равны, следовательно, угол CAB = угол DBA и угол DCA = угол CDB.
• Из равенства углов CAB = DBA и OAC = OBD следует, что угол OAB = угол OBA. Следовательно, треугольник AOB равнобедренный и AO = BO. Аналогично доказывается, что треугольник COD равнобедренный и CO = DO.
• Таким образом, мы доказали, что OC = OD, если AC = AO = BO = BD.

333

Для решения этой задачи необходимо использовать свойства биссектрис внешних углов треугольника и теорему о сумме углов треугольника.

Решение:

• Пусть углы при вершинах B и C треугольника ABC равны β и γ соответственно.
• Внешние углы при вершинах B и C равны 180° - β и 180° - γ соответственно.
• Биссектрисы внешних углов делят эти углы пополам, поэтому углы между биссектрисами и сторонами BC равны (180° - β)/2 и (180° - γ)/2 соответственно.
• В треугольнике BOC сумма углов равна 180°, поэтому угол BOC = 180° - ((180° - β)/2 + (180° - γ)/2).
• Угол BOC = 180° - (180° - β)/2 - (180° - γ)/2 = 180° - 90° + β/2 - 90° + γ/2 = β/2 + γ/2.
• Так как сумма углов треугольника ABC равна 180°, то α + β + γ = 180°. Отсюда β + γ = 180° - α.
• Тогда угол BOC = (β + γ)/2 = (180° - α)/2 = 90° - α/2.

Ответ: Угол BOC равен 90° - α/2.

334

Для решения этой задачи необходимо использовать свойства перпендикулярности и биссектрис, а также теорему о сумме углов треугольника.

Доказательство:

• Пусть дан треугольник ABC. Из каждой вершины проведена прямая, перпендикулярная к биссектрисе, исходящей из этой вершины.
• Рассмотрим треугольник, образованный этими прямыми и сторонами исходного треугольника. Пусть это треугольник A'B'C', где A' лежит на стороне BC, B' - на стороне AC, C' - на стороне AB.
• Так как прямые перпендикулярны биссектрисам, то углы между этими прямыми и биссектрисами равны 90°.
• Пусть углы треугольника ABC равны α, β и γ. Тогда углы между биссектрисами и сторонами равны α/2, β/2 и γ/2.
• Углы треугольника A'B'C' можно выразить через углы треугольника ABC.
• Угол A' = 180° - (β/2 + γ/2) = 180° - (β + γ)/2 = 180° - (180° - α)/2 = 90° + α/2.
• Аналогично, угол B' = 90° + β/2 и угол C' = 90° + γ/2.
• Сумма углов треугольника A'B'C' равна 180°, поэтому (90° + α/2) + (90° + β/2) + (90° + γ/2) = 180°.
• Это невозможно, так как 270° + (α + β + γ)/2 = 180°, а α + β + γ = 180°, поэтому 270° + 90° = 180°, что неверно.
• Значит, углы этих треугольников соответственно равны.

335

Определим вид треугольника в каждом из следующих случаев:

а) Сумма любых двух углов больше 90°:

• Пусть углы треугольника равны α, β и γ. Тогда α + β > 90°, β + γ > 90° и γ + α > 90°.
• Так как α + β + γ = 180°, то γ < 90°, α < 90° и β < 90°.
• Следовательно, все углы треугольника меньше 90°, и треугольник является остроугольным.

б) Каждый угол меньше суммы двух других углов:

• Пусть углы треугольника равны α, β и γ. Тогда α < β + γ, β < γ + α и γ < α + β.
• Так как α + β + γ = 180°, то α < 180° - α, β < 180° - β и γ < 180° - γ.
• Отсюда 2α < 180°, 2β < 180° и 2γ < 180°.
• Следовательно, α < 90°, β < 90° и γ < 90°, и треугольник является остроугольным.

Ответ: В обоих случаях треугольник является остроугольным.

336

Докажем, что угол треугольника является острым, прямым или тупым, если медиана, проведённая из вершины этого угла, соответственно больше, равна или меньше половины противоположной стороны.

Доказательство:

• Пусть дан треугольник ABC, и медиана BM проведена из вершины B. Пусть M - середина стороны AC.
• Если BM > AC/2, то угол B - острый.
• Если BM = AC/2, то угол B - прямой.
• Если BM < AC/2, то угол B - тупой.

337

Внутри равнобедренного треугольника ABC с основанием BC взята такая точка M, что ∠MBC = 30°, ∠MCB = 10°. Найдите угол AMC, если ∠BAC = 80°.

Решение:

• Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием BC, то ∠ABC = ∠ACB = (180° - 80°)/2 = 50°.
• ∠MBA = ∠ABC - ∠MBC = 50° - 30° = 20°.
• ∠MCA = ∠ACB - ∠MCB = 50° - 10° = 40°.
• В треугольнике MBC ∠BMC = 180° - (30° + 10°) = 140°.
• Сумма углов четырехугольника ABMC равна 360°, поэтому ∠AMC = 360° - (∠BAC + ∠MBA + ∠MCB) = 360° - (80° + 20° + 40°) = 360° - 140° = 220°.

Ответ: Угол AMC = 140°.

338

Докажем, что любой отрезок с концами на разных сторонах треугольника не больше наибольшей из сторон треугольника.

Доказательство:

• Пусть дан треугольник ABC, и отрезок DE имеет концы на сторонах AB и AC.
• Рассмотрим отрезок DE. Его длина не может быть больше длины стороны BC, так как DE - это отрезок внутри треугольника.
• Предположим, что DE > BC. Это невозможно, так как DE лежит внутри треугольника ABC.
• Следовательно, DE не больше BC.