Отрезки АВ и CD не пересекаются. Докажите, что есть не более двух точек М на плоскости, для которых углы АМВ и CMD прямые. (» рис.)

Решение:

Рассмотрим условие, что угол \( \angle AMB \) прямой. Это означает, что точка \( M \) лежит на окружности с диаметром \( AB \). Аналогично, если \( \angle CMD \) прямой, то точка \( M \) лежит на окружности с диаметром \( CD \).

По условию отрезки \( AB \) и \( CD \) не пересекаются. Это означает, что эти отрезки либо не лежат на одной прямой, либо лежат на одной прямой, но не имеют общих точек.

Случай 1: Отрезки \( AB \) и \( CD \) не лежат на одной прямой.

В этом случае окружности с диаметрами \( AB \) и \( CD \) могут пересекаться максимум в двух точках. Геометрически, две окружности могут иметь 0, 1 или 2 точки пересечения. Если бы они имели более двух точек пересечения, они бы совпадали, что невозможно, так как диаметры \( AB \) и \( CD \) различны (так как отрезки не пересекаются, они не могут быть одним и тем же отрезком).

Случай 2: Отрезки \( AB \) и \( CD \) лежат на одной прямой, но не пересекаются.

Предположим, что \( A, B, C, D \) лежат на одной прямой. Пусть \( AB \) и \( CD \) — отрезки, не имеющие общих точек. Например, порядок точек на прямой может быть \( A, B, C, D \) или \( C, D, A, B \) и т.д.

Если \( M \) — точка на плоскости, такая что \( \angle AMB = 90^{\circ} \), то \( M \) лежит на окружности, диаметром которой является отрезок \( AB \).

Если \( M \) — точка на плоскости, такая что \( \angle CMD = 90^{\circ} \), то \( M \) лежит на окружности, диаметром которой является отрезок \( CD \).

Пусть \( O_1 \) — середина \( AB \) и \( r_1 = \frac{1}{2} AB \) — радиус первой окружности. Пусть \( O_2 \) — середина \( CD \) и \( r_2 = \frac{1}{2} CD \) — радиус второй окружности.

Так как \( AB \) и \( CD \) лежат на одной прямой, центры \( O_1 \) и \( O_2 \) также лежат на этой прямой. Расстояние между центрами \( |O_1O_2| \) будет равно расстоянию между серединами отрезков \( AB \) и \( CD \).

Так как отрезки \( AB \) и \( CD \) не пересекаются, то расстояние между их серединами \( |O_1O_2| \) будет больше, чем сумма их радиусов \( r_1 + r_2 \) (если отрезки расположены так, что между ними есть промежуток) или будет равно \( |O_1O_2| = \frac{|AC| + |BD|}{2} \) (в зависимости от порядка точек). В любом случае, если отрезки не пересекаются, то прямая, содержащая \( AB \) и \( CD \), не проходит через внутренность одной окружности, если центр другой находится на этой прямой.

Две окружности на одной плоскости могут пересекаться не более чем в двух точках. Если их центры совпадают, то они либо совпадают (если радиусы равны), либо не пересекаются (если радиусы разные). Если центры не совпадают, то они пересекаются в двух точках, касаются в одной точке или не пересекаются совсем.

Поскольку \( AB \) и \( CD \) — разные отрезки, то окружности, построенные на них как на диаметрах, не могут совпадать. Следовательно, они могут иметь не более двух точек пересечения.

Таким образом, количество точек \( M \), для которых \( \angle AMB = 90^{\circ} \) и \( \angle CMD = 90^{\circ} \), равно количеству точек пересечения двух окружностей. Две различные окружности могут пересекаться максимум в двух точках.

Вывод: Количество точек \( M \) на плоскости, для которых \( \angle AMB \) и \( \angle CMD \) являются прямыми, равно количеству точек пересечения двух окружностей с диаметрами \( AB \) и \( CD \). Две различные окружности могут пересекаться не более чем в двух точках. Следовательно, таких точек \( M \) не более двух.

Ответ: Доказано.