490. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности. Докажите, что АС || BD.

1. Дано:

   • AB и CD - диаметры окружности с центром в точке O.

2. Доказать: AC || BD.

3. Рассмотрим углы ∠AOC и ∠BOD. Они являются вертикальными углами, а значит, ∠AOC = ∠BOD.

4. Так как OA = OC = OB = OD (как радиусы окружности), треугольники AOC и BOD - равнобедренные.

5. В равнобедренных треугольниках углы при основании равны. Следовательно:

   • В треугольнике AOC: ∠OAC = ∠OCA.
   • В треугольнике BOD: ∠OBD = ∠ODB.

6. Угол ∠OAC опирается на дугу OC, а угол ∠OBD опирается на дугу OD. Так как ∠AOC = ∠BOD, то и дуги OC и OD равны.

7. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Следовательно, в треугольнике AOC:

   ∠OAC + ∠OCA + ∠AOC = 180°

   Так как ∠OAC = ∠OCA, то 2∠OAC + ∠AOC = 180°, откуда ∠OAC = (180° - ∠AOC) / 2.

   Аналогично, в треугольнике BOD: ∠OBD = (180° - ∠BOD) / 2.

   Поскольку ∠AOC = ∠BOD, то ∠OAC = ∠OBD.

8. Углы ∠OAC и ∠OBD являются соответственными углами при прямых AC и BD и секущей AB. Так как ∠OAC = ∠OBD, то прямые AC и BD параллельны.

Ответ: AC || BD, что и требовалось доказать.