Отрезки AB и CE пересекаются в их общей середине O. На отрезках AC и BE отмечены точки K и M так, что AK равно BM. Доказать, что OK равно OM.

Дано:

Отрезки AB и CE пересекаются в точке O, которая является их серединой. Точки K и M лежат на отрезках AC и BE соответственно. \( AK = BM \).

Доказать:

\( OK = OM \).

Доказательство:

1. Так как O — середина отрезков AB и CE, то \( AO = OB \) и \( CO = OE \).
2. Рассмотрим треугольники \( \triangle AOC \) и \( \triangle BOE \).
3. Углы \( \angle AOC \) и \( \angle BOE \) являются вертикальными, следовательно, \( \angle AOC = \angle BOE \).
4. По двум сторонам и углу между ними (признак равенства треугольников), \( \triangle AOC = \triangle BOE \).
5. Из равенства треугольников следует, что \( AC = BE \).
6. По условию \( AK = BM \).
7. Так как \( AC = AK + KC \) и \( BE = BM + ME \), и \( AC = BE \), \( AK = BM \), то \( KC = ME \).
8. Рассмотрим треугольники \( \triangle KOC \) и \( \triangle MOE \).
9. У нас есть:
• \( CO = OE \) (по условию, O — середина CE)
• \( KC = ME \) (доказано выше)
• \( \angle KOC = \angle MOE \) (вертикальные углы)
10. По двум сторонам и углу между ними (признак равенства треугольников), \( \triangle KOC = \triangle MOE \).
11. Из равенства треугольников следует, что \( OK = OM \).

Что и требовалось доказать.