• Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB = 24, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 16 и 12.

Решение:

Чтобы найти длину хорды CD, воспользуемся теоремой Пифагора. Радиус окружности одинаков для всех хорд.

1. Найдём радиус окружности по хорде AB:
   Расстояние от центра до хорды делит хорду пополам. Получаем прямоугольный треугольник, где один катет — это половина хорды AB, второй катет — расстояние от центра до хорды AB, а гипотенуза — радиус окружности (R).
   Половина хорды AB: \( \frac{24}{2} = 12 \) см.
   По теореме Пифагора: \( R^2 = 12^2 + 16^2 \)
   \( R^2 = 144 + 256 \)
   \( R^2 = 400 \)
   \( R = \sqrt{400} = 20 \) см.
2. Найдём длину хорды CD:
   Теперь у нас есть радиус окружности (R = 20 см) и расстояние от центра до хорды CD (12 см). Опять образуется прямоугольный треугольник.
   Пусть половина хорды CD будет равна \( x \). По теореме Пифагора: \( x^2 + 12^2 = 20^2 \)
   \( x^2 + 144 = 400 \)
   \( x^2 = 400 - 144 \)
   \( x^2 = 256 \)
   \( x = \sqrt{256} = 16 \) см.
   Длина хорды CD равна удвоенному значению \( x \): \( CD = 2 × 16 = 32 \) см.

Ответ: 32 см.