Отметьте в координатной плоскости точки А(4; 7), В(-8; 9), С(-12; -1) и D(2; -6). Проведите прямые АС и BD. Найдите координаты точки пересечения: а) прямых АС и BD; б) прямой BD с осью ординат; в) прямой АС с осью абсцисс.

Решение:

Для решения этой задачи нам нужно найти уравнения прямых АС и BD, затем найти точку их пересечения. Также нужно найти точки пересечения каждой прямой с осями координат.

1. Найдём уравнение прямой АС.
• Координаты точек: A(4; 7), C(-12; -1).
• Найдём угловой коэффициент (наклон) прямой: \( k_{AC} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-1 - 7}{-12 - 4} = \frac{-8}{-16} = \frac{1}{2} \).
• Уравнение прямой имеет вид \( y - y_1 = k(x - x_1) \). Возьмём точку A(4; 7): \( y - 7 = \frac{1}{2}(x - 4) \) \( 2(y - 7) = x - 4 \) \( 2y - 14 = x - 4 \) \( x - 2y + 10 = 0 \).
2. Найдём уравнение прямой BD.
• Координаты точек: B(-8; 9), D(2; -6).
• Найдём угловой коэффициент (наклон) прямой: \( k_{BD} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-6 - 9}{2 - (-8)} = \frac{-15}{10} = -\frac{3}{2} \).
• Уравнение прямой: \( y - y_1 = k(x - x_1) \). Возьмём точку D(2; -6): \( y - (-6) = -\frac{3}{2}(x - 2) \) \( y + 6 = -\frac{3}{2}(x - 2) \) \( 2(y + 6) = -3(x - 2) \) \( 2y + 12 = -3x + 6 \) \( 3x + 2y + 6 = 0 \).
3. а) Найдем координаты точки пересечения прямых АС и BD.
• Решим систему уравнений:

{ 'x - 2y + 10 = 0' }

{ '3x + 2y + 6 = 0' }

• Сложим уравнения: \( (x - 2y + 10) + (3x + 2y + 6) = 0 \) \( 4x + 16 = 0 \) \( 4x = -16 \) \( x = -4 \).
• Подставим \( x = -4 \) в первое уравнение: \( -4 - 2y + 10 = 0 \) \( 6 - 2y = 0 \) \( 2y = 6 \) \( y = 3 \).
• Точка пересечения прямых АС и BD: (-4; 3).
4. б) Найдем точку пересечения прямой BD с осью ординат (осью Y).
• Ось ординат — это прямая \( x = 0 \).
• Подставим \( x = 0 \) в уравнение прямой BD: \( 3(0) + 2y + 6 = 0 \) \( 2y + 6 = 0 \) \( 2y = -6 \) \( y = -3 \).
• Точка пересечения прямой BD с осью ординат: (0; -3).
5. в) Найдем точку пересечения прямой АС с осью абсцисс (осью X).
• Ось абсцисс — это прямая \( y = 0 \).
• Подставим \( y = 0 \) в уравнение прямой АС: \( x - 2(0) + 10 = 0 \) \( x + 10 = 0 \) \( x = -10 \).
• Точка пересечения прямой АС с осью абсцисс: (-10; 0).

Ответ: а) (-4; 3); б) (0; -3); в) (-10; 0).