От точки С на окружности хорда АВ видна под углом 112° Вычисли градусную меру дуги АВ и дуги АСВ.

Решение:

Вписанный угол, опирающийся на дугу, равен половине градусной меры этой дуги. Следовательно, градусная мера дуги, на которую опирается вписанный угол, равна удвоенной величине этого угла.

Угол \( \angle ACB \) — вписанный и опирается на дугу \( \stackrel{\frown}{AB} \). По условию, \( \angle ACB = 112^{\circ} \).

Однако, вписанный угол не может быть больше 180 градусов. По всей видимости, в условии задачи имелся в виду центральный угол, опирающийся на дугу AB, или же угол, опирающийся на большую дугу.

Предположим, что \( 112^{\circ} \) — это величина вписанного угла, опирающегося на меньшую дугу \( \stackrel{\frown}{AB} \). В таком случае, градусная мера меньшей дуги \( \stackrel{\frown}{AB} \) будет равна \( 2 \times \angle ACB \) только если \( \angle ACB \) опирается на меньшую дугу. Но если \( \angle ACB = 112^{\circ} \), то он опирается на дугу, градусная мера которой равна \( 2 \times 112^{\circ} = 224^{\circ} \).

Если \( \angle ACB = 112^{\circ} \) — это вписанный угол, то он опирается на большую дугу. В этом случае, градусная мера большей дуги \( \stackrel{\frown}{ACB} \) равна \( 2 \times 112^{\circ} = 224^{\circ} \).

Тогда градусная мера меньшей дуги \( \stackrel{\frown}{AB} \) будет равна \( 360^{\circ} - 224^{\circ} = 136^{\circ} \).

Если же \( 112^{\circ} \) — это градусная мера меньшей дуги \( \stackrel{\frown}{AB} \), то вписанный угол, опирающийся на эту дугу, равен \( 112^{\circ} / 2 = 56^{\circ} \). Этот случай противоречит условию.

Наиболее вероятно, что \( 112^{\circ} \) — это величина вписанного угла, опирающегося на большую дугу, и нам нужно найти градусные меры меньшей дуги \( \stackrel{\frown}{AB} \) и большей дуги \( \stackrel{\frown}{ACB} \).

1. Градусная мера дуги \( \stackrel{\frown}{AB} \)

Так как вписанный угол \( \angle ACB = 112^{\circ} \) опирается на большую дугу, то градусная мера этой дуги \( \stackrel{\frown}{ACB} \) равна \( 2 \times 112^{\circ} = 224^{\circ} \).

Полная окружность составляет \( 360^{\circ} \). Следовательно, градусная мера меньшей дуги \( \stackrel{\frown}{AB} \) равна:

\( \stackrel{\frown}{AB} = 360^{\circ} - \stackrel{\frown}{ACB} \)

\( \stackrel{\frown}{AB} = 360^{\circ} - 224^{\circ} = 136^{\circ} \).

2. Градусная мера дуги \( \stackrel{\frown}{ACB} \)

Как было найдено выше, градусная мера большей дуги \( \stackrel{\frown}{ACB} \) равна \( 224^{\circ} \).

Уточнение к условию:

Если под углом \( 112^{\circ} \) подразумевался угол, под которым хорда \( AB \) видна из центра окружности (центральный угол), то градусная мера дуги \( \stackrel{\frown}{AB} \) была бы равна \( 112^{\circ} \).

Если под углом \( 112^{\circ} \) подразумевался угол, опирающийся на меньшую дугу \( \stackrel{\frown}{AB} \), то градусная мера меньшей дуги \( \stackrel{\frown}{AB} \) равна \( 2 \times 112^{\circ} = 224^{\circ} \), что является большей дугой, и это противоречие. Поэтому, \( 112^{\circ} \) — это вписанный угол, опирающийся на большую дугу.

Ответ: Градусная мера дуги \( \stackrel{\frown}{AB} = 136^{\circ} \). Градусная мера дуги \( \stackrel{\frown}{ACB} = 224^{\circ} \).