От пристани около турбазы отправился в путь плот. Через 3 ч вдогонку отправилась моторная лодка, которая дошла до следующей пристани и сейчас же повернула обратно, вернулась к первой пристани. К моменту возвращения лодки плот уже проделал путь в 30 км. Найди скорость лодки по течению, если расстояние между пристанями составляет 35 км, а скорость течения реки на этом участке составляет 6 км/ч.

Решение:

1. Обозначим скорость лодки по течению как \( v_{лодки} \) км/ч.
2. Скорость течения реки составляет \( v_{течения} = 6 \) км/ч.
3. Скорость лодки против течения равна \( v_{лодки} - v_{течения} = v_{лодки} - 6 \) км/ч.
4. Расстояние между пристанями равно \( S = 35 \) км.
5. Время, за которое лодка дошла до следующей пристани (по течению), равно \( t_1 = \frac{S}{v_{лодки}} = \frac{35}{v_{лодки}} \) ч.
6. Время, за которое лодка вернулась к первой пристани (против течения), равно \( t_2 = \frac{S}{v_{лодки} - 6} = \frac{35}{v_{лодки} - 6} \) ч.
7. Общее время в пути для лодки равно \( t_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{35}{v_{лодки}} + \frac{35}{v_{лодки} - 6} \) ч.
8. За это время плот проделал путь в \( S_{плот} = 30 \) км.
9. Скорость плота равна скорости течения реки, то есть \( v_{плот} = 6 \) км/ч.
10. Время движения плота равно \( t_{плот} = \frac{S_{плот}}{v_{плот}} = \frac{30}{6} = 5 \) ч.
11. Время движения лодки и плота совпадает, значит, \( t_{общ} = t_{плот} = 5 \) ч.
12. Составим уравнение: \( \frac{35}{v_{лодки}} + \frac{35}{v_{лодки} - 6} = 5 \).
13. Разделим обе части уравнения на 5: \( \frac{7}{v_{лодки}} + \frac{7}{v_{лодки} - 6} = 1 \).
14. Приведем к общему знаменателю: \( \frac{7(v_{лодки} - 6) + 7v_{лодки}}{v_{лодки}(v_{лодки} - 6)} = 1 \).
15. Раскроем скобки и упростим числитель: \( 7v_{лодки} - 42 + 7v_{лодки} = v_{лодки}(v_{лодки} - 6) \).
16. \( 14v_{лодки} - 42 = v_{лодки}^2 - 6v_{лодки} \).
17. Перенесем все члены в одну сторону: \( v_{лодки}^2 - 6v_{лодки} - 14v_{лодки} + 42 = 0 \).
18. \( v_{лодки}^2 - 20v_{лодки} + 42 = 0 \).
19. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 42 = 400 - 168 = 232 \).
20. \( \sqrt{D} = \sqrt{232} = \sqrt{4 \cdot 58} = 2\sqrt{58} \).
21. \( v_{лодки} = \frac{20 \pm 2\sqrt{58}}{2} = 10 \pm \sqrt{58} \).
22. Так как \( \sqrt{58} \) примерно равно 7.6, то \( 10 + \sqrt{58} \approx 17.6 \) и \( 10 - \sqrt{58} \approx 2.4 \).
23. Скорость лодки по течению должна быть больше скорости течения (6 км/ч), поэтому \( v_{лодки} = 10 + \sqrt{58} \).
24. Найдем приближенное значение: \( 10 + 7.6157... \approx 17.62 \).
25. Проверим, если \( v_{лодки} = 17.62 \) км/ч, то \( v_{против} = 17.62 - 6 = 11.62 \) км/ч.
26. \( t_1 = \frac{35}{17.62} \approx 1.986 \) ч. \( t_2 = \frac{35}{11.62} \approx 3.012 \) ч.
27. \( t_{общ} = 1.986 + 3.012 = 4.998 \) ч, что примерно равно 5 часам.

Ответ: 10 + \(\sqrt{58}\) км/ч.