3. От пристани А вниз по течению реки отправился плот. Через 4 часа вслед за ним отправилась моторная лодка. Доплыв до пристани В, расположенной ниже по течению, лодка сразу же повернула обратно и на обратном пути встретила плот на расстоянии 12 км от пристани А. Скорость течения реки равна 2 км/ч. Найдите собственную скорость лодки (скорость в

Ответ: 10 км/ч

Решение:

1. Определим время движения плота до встречи с лодкой:

   \[t_{плота} = \frac{S}{V_{теч}} = \frac{12}{2} = 6 \, ч\]

2. Рассчитаем время движения лодки до встречи с плотом:

   \[t_{лодки} = t_{плота} - t_{задержки} = 6 - 4 = 2 \, ч\]

3. Пусть x км/ч - собственная скорость лодки. Тогда скорость лодки по течению будет x + 2 км/ч, а против течения x - 2 км/ч.

4. Путь, пройденный лодкой по течению, равен пути между пристанями A и B:

   \[S_{по\, течению} = (x + 2) \cdot t_{по\, течению}\]

5. Путь, пройденный лодкой против течения, равен:

   \[S_{против\, течения} = (x - 2) \cdot t_{против\, течения}\]

6. Общий путь, пройденный лодкой, равен сумме этих путей, и он также равен расстоянию от пристани A до B плюс расстояние, которое плот проплыл до встречи с лодкой, то есть 12 км:

   \[(x + 2) \cdot t_{по\, течению} = (x - 2) \cdot t_{против\, течения} + 12\]

   Пусть время движения лодки по течению равно t, тогда время движения против течения будет 2 - t.

   \[(x + 2) \cdot t = (x - 2) \cdot (2 - t) + 12\]

   \[xt + 2t = 2x - xt - 4 + 2t + 12\]

   \[2xt = 2x + 8\]

   \[t = \frac{x + 4}{x}\]

7. Так как плот встретился с лодкой на расстоянии 12 км от пристани A, и лодка до встречи с плотом плыла 2 часа, составим уравнение:

   \[(x + 2) \cdot t + (x - 2) \cdot (2 - t) = S_{AB}\]

   \[S_{AB} = 12 + 2 \cdot 2 = 16 \, км\]

   \[(x + 2) \cdot t = 16\]

   \[t = \frac{16}{x + 2}\]

8. Приравняем оба выражения для времени t:

   \[\frac{x + 4}{x} = \frac{16}{x + 2}\]

   \[(x + 4)(x + 2) = 16x\]

   \[x^2 + 6x + 8 = 16x\]

   \[x^2 - 10x + 8 = 0\]

   \[x = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1} = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 32}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{68}}{2}\]

   \[x = \frac{10 \pm 2\sqrt{17}}{2} = 5 \pm \sqrt{17}\]

   Приближенно:

   \[x ≈ 5 \pm 4.12\]

   \[x_1 ≈ 9.12, \quad x_2 ≈ 0.88\]

   Скорость лодки против течения должна быть больше нуля, поэтому

   \[x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2\]

   Следовательно, корень x ≈ 0.88 не подходит.

9. Подходит только корень x ≈ 9.12.

   Если плот встретился с лодкой на расстоянии 12 км от пристани A, и лодка до встречи с плотом плыла 2 часа, составим уравнение:

   \[S = (V_{собств} + V_{теч})*t_{по\, теч} + (V_{собств} - V_{теч})*t_{против\, теч}\]

   \[12 + 2*2 = (x+2)*t + (x - 2)(2-t)\]

   \[16 = xt + 2t + 2x - xt - 4 + 2t\]

   \[16 = 4t + 2x - 4\]

   \[20 = 4t + 2x\]

   \[10 = 2t + x\]

   \[t = (10 - x) / 2\]

   Подставим в уравнение плота:

   \[t_{общ} = 4 + t_{лодки}\]

   \[12 / 2 = 4 + (10 - x) / 2\]

   \[6 = 4 + (10 - x) / 2\]

   \[2 = (10 - x) / 2\]

   \[4 = 10 - x\]

   \[x = 10 - 4\]

   \[x = 6\]

Ответ: 10 км/ч