От посёлка до базы отдыха Сергей доехал за 3 часа на велосипеде. Если бы он поехал на мотоцикле, то доехал бы на 1 час быстрее. Найди расстояние от посёлка до базы отдыха, если средняя скорость на мотоцикле больше средней скорости на велосипеде на 10 км/ч.

Решение:

Пусть \( S \) — расстояние от посёлка до базы отдыха (в км).

Пусть \( v_1 \) — средняя скорость на велосипеде (в км/ч), а \( t_1 \) — время в пути на велосипеде (в часах).

Пусть \( v_2 \) — средняя скорость на мотоцикле (в км/ч), а \( t_2 \) — время в пути на мотоцикле (в часах).

Из условия задачи известно:

• \( t_1 = 3 \) часа.
• На мотоцикле Сергей доехал бы на 1 час быстрее, значит \( t_2 = t_1 - 1 = 3 - 1 = 2 \) часа.
• Средняя скорость на мотоцикле больше средней скорости на велосипеде на 10 км/ч, значит \( v_2 = v_1 + 10 \) км/ч.

Расстояние находится по формуле \( S = v \cdot t \).

Запишем уравнения для каждого вида транспорта:

1. Для велосипеда: \( S = v_1 \cdot t_1 \implies S = 3v_1 \). Отсюда \( v_1 = \frac{S}{3} \).
2. Для мотоцикла: \( S = v_2 \cdot t_2 \implies S = 2v_2 \). Отсюда \( v_2 = \frac{S}{2} \).

Подставим выражения для \( v_1 \) и \( v_2 \) в уравнение \( v_2 = v_1 + 10 \):

\[ \frac{S}{2} = \frac{S}{3} + 10 \]

Чтобы решить это уравнение, приведём дроби к общему знаменателю 6:

\[ \frac{3S}{6} = \frac{2S}{6} + \frac{60}{6} \]

Умножим обе части уравнения на 6:

\[ 3S = 2S + 60 \]

Вычтем \( 2S \) из обеих частей:

\[ 3S - 2S = 60 \]

\[ S = 60 \]

Таким образом, расстояние от посёлка до базы отдыха равно 60 км.

Ответ: расстояние от посёлка до базы отдыха равно 60 км.