От двух железнодорожных вокзалов, расстояние между которыми 250 км, навстречу друг другу вышли пассажирский поезд со скоростью 50 км/ч и грузовой поезд со скоростью 30 км/ч. Грузовой поезд вышел на 3 часа позже пассажирского. Через сколько часов после выхода пассажирского поезда поезда встретятся?

Решение:

1. Определим, какое расстояние проехал пассажирский поезд за первые 3 часа. Скорость пассажирского поезда: \( v_п = 50 \) км/ч. Время: \( t_1 = 3 \) часа. Расстояние: \( S_1 = v_п \cdot t_1 = 50 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 150 \) км.
2. Найдем оставшееся расстояние между поездами, когда начал движение грузовой поезд. Общее расстояние: \( S_{общ} = 250 \) км. Расстояние, пройденное пассажирским поездом: \( S_1 = 150 \) км. Оставшееся расстояние: \( S_2 = S_{общ} - S_1 = 250 \text{ км} - 150 \text{ км} = 100 \) км.
3. Найдем скорость сближения поездов. Скорость пассажирского поезда: \( v_п = 50 \) км/ч. Скорость грузового поезда: \( v_г = 30 \) км/ч. Скорость сближения: \( v_{сбл} = v_п + v_г = 50 \text{ км/ч} + 30 \text{ км/ч} = 80 \) км/ч.
4. Найдем время, через которое поезда встретятся после выхода грузового поезда. Оставшееся расстояние: \( S_2 = 100 \) км. Скорость сближения: \( v_{сбл} = 80 \) км/ч. Время: \( t_2 = \frac{S_2}{v_{сбл}} = \frac{100 \text{ км}}{80 \text{ км/ч}} = 1.25 \) часа.
5. Найдем общее время в пути пассажирского поезда до встречи. Время движения пассажирского поезда до выхода грузового: \( t_1 = 3 \) часа. Время движения после выхода грузового: \( t_2 = 1.25 \) часа. Общее время: \( t_{общ} = t_1 + t_2 = 3 \text{ ч} + 1.25 \text{ ч} = 4.25 \) часа.

Ответ: через 4.25 часа после выхода пассажирского поезда.