Контрольные задания > 439. Освободитесь от внешнего радикала, пользуясь формулой двойного радикала: a) √55+ √216; б) √86-√5460; B) 17+ √288; г) √32-√1008.
Вопрос:

439. Освободитесь от внешнего радикала, пользуясь формулой двойного радикала: a) √55+ √216; б) √86-√5460; B) 17+ √288; г) √32-√1008.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Разбираемся, как освободиться от внешнего радикала, используя формулу двойного радикала!

Для начала вспомним формулу двойного радикала:

Краткое пояснение: \(\sqrt{a \pm \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} \pm \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}}\)

Теперь применим эту формулу к каждому примеру:

a) \(\sqrt{55 + \sqrt{216}}\)

  1. Подставляем значения в формулу: \(a = 55, b = 216\)
  2. Вычисляем: \(\sqrt{\frac{55 + \sqrt{55^2 - 216}}{2}} + \sqrt{\frac{55 - \sqrt{55^2 - 216}}{2}}\)
  3. \(\sqrt{\frac{55 + \sqrt{3025 - 216}}{2}} + \sqrt{\frac{55 - \sqrt{3025 - 216}}{2}}\)
  4. \(\sqrt{\frac{55 + \sqrt{2809}}{2}} + \sqrt{\frac{55 - \sqrt{2809}}{2}}\)
  5. \(\sqrt{\frac{55 + 53}{2}} + \sqrt{\frac{55 - 53}{2}}\)
  6. \(\sqrt{\frac{108}{2}} + \sqrt{\frac{2}{2}}\)
  7. \(\sqrt{54} + \sqrt{1} = \sqrt{54} + 1\)

Ответ: \(\sqrt{54} + 1\)

б) \(\sqrt{86 - \sqrt{5460}}\)

  1. Подставляем значения в формулу: \(a = 86, b = 5460\)
  2. Вычисляем: \(\sqrt{\frac{86 + \sqrt{86^2 - 5460}}{2}} - \sqrt{\frac{86 - \sqrt{86^2 - 5460}}{2}}\)
  3. \(\sqrt{\frac{86 + \sqrt{7396 - 5460}}{2}} - \sqrt{\frac{86 - \sqrt{7396 - 5460}}{2}}\)
  4. \(\sqrt{\frac{86 + \sqrt{1936}}{2}} - \sqrt{\frac{86 - \sqrt{1936}}{2}}\)
  5. \(\sqrt{\frac{86 + 44}{2}} - \sqrt{\frac{86 - 44}{2}}\)
  6. \(\sqrt{\frac{130}{2}} - \sqrt{\frac{42}{2}}\)
  7. \(\sqrt{65} - \sqrt{21}\)

Ответ: \(\sqrt{65} - \sqrt{21}\)

в) \(\sqrt{17 + \sqrt{288}}\)

  1. Подставляем значения в формулу: \(a = 17, b = 288\)
  2. Вычисляем: \(\sqrt{\frac{17 + \sqrt{17^2 - 288}}{2}} + \sqrt{\frac{17 - \sqrt{17^2 - 288}}{2}}\)
  3. \(\sqrt{\frac{17 + \sqrt{289 - 288}}{2}} + \sqrt{\frac{17 - \sqrt{289 - 288}}{2}}\)
  4. \(\sqrt{\frac{17 + \sqrt{1}}{2}} + \sqrt{\frac{17 - \sqrt{1}}{2}}\)
  5. \(\sqrt{\frac{17 + 1}{2}} + \sqrt{\frac{17 - 1}{2}}\)
  6. \(\sqrt{\frac{18}{2}} + \sqrt{\frac{16}{2}}\)
  7. \(\sqrt{9} + \sqrt{8} = 3 + 2\sqrt{2}\)

Ответ: \(3 + 2\sqrt{2}\)

г) \(\sqrt{32 - \sqrt{1008}}\)

  1. Подставляем значения в формулу: \(a = 32, b = 1008\)
  2. Вычисляем: \(\sqrt{\frac{32 + \sqrt{32^2 - 1008}}{2}} - \sqrt{\frac{32 - \sqrt{32^2 - 1008}}{2}}\)
  3. \(\sqrt{\frac{32 + \sqrt{1024 - 1008}}{2}} - \sqrt{\frac{32 - \sqrt{1024 - 1008}}{2}}\)
  4. \(\sqrt{\frac{32 + \sqrt{16}}{2}} - \sqrt{\frac{32 - \sqrt{16}}{2}}\)
  5. \(\sqrt{\frac{32 + 4}{2}} - \sqrt{\frac{32 - 4}{2}}\)
  6. \(\sqrt{\frac{36}{2}} - \sqrt{\frac{28}{2}}\)
  7. \(\sqrt{18} - \sqrt{14} = 3\sqrt{2} - \sqrt{14}\)

Ответ: \(3\sqrt{2} - \sqrt{14}\)

ГДЗ по фото 📸