Острый угол В прямоугольного треугольника равен 46°. Найдите угол между биссектрисой CD и медианой СМ, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Решение:

В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°. Если один острый угол равен 46°, то другой острый угол равен \( 90° - 46° = 44° \).

Пусть прямой угол находится в вершине C. Биссектриса CD делит прямой угол пополам, то есть \( \angle ACD = \angle BCD = 90°/2 = 45° \).

Медиана CM, проведённая из вершины прямого угла, делит гипотенутеную AB пополам. В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенутены. Следовательно, \( CM = AM = BM \).

Рассмотрим треугольник ACM. \( AC \) — катет, \( CM = AM \) — равные стороны. Угол \( \angle CAM = 46° \).

В треугольнике ACM углы при основании AM равны. Угол \( \angle ACM \) является углом при вершине C.

Сумма углов в треугольнике ACM равна 180°:

\( \angle CAM + \angle CMA + \angle ACM = 180° \)

\( 46° + \angle CMA + \angle ACM = 180° \)

Так как \( AM = CM \), то \( \angle CAM = \angle ACM \) - это неверно. Правильно, что \( \angle CAM = 46° \) и \( AM = CM \) означают, что \( \triangle AMC \) равнобедренный с основанием \( AC \). Углы при основании равны, значит \( \angle ACM = \angle CAM = 46° \).

Теперь найдём угол \( \angle BCM \). \( \angle ACB = 90° \), \( \angle ACM = 46° \). Следовательно, \( \angle BCM = \angle ACB - \angle ACM = 90° - 46° = 44° \).

Угол между биссектрисой CD и медианой CM равен разности углов \( \angle BCM \) и \( \angle BCD \) (или \( \angle ACD \) и \( \angle ACM \)).

\( \angle MCD = | \angle BCD - \angle BCM | = | 45° - 44° | = 1° \)

Или

\( \angle MCD = | \angle ACD - \angle ACM | = | 45° - 46° | = |-1°| = 1° \)

Ответ: 1°.