Острый угол N прямоугольного треугольника MNC равен 59°. Найдите угол между высотой CH и биссектрисой CD, проведёнными из вершины прямого угла.

Решение:

В прямоугольном треугольнике \( \triangle MNC \) угол \( \angle N = 59^{\circ} \). Так как \( \angle C = 90^{\circ} \), то угол \( \angle M = 90^{\circ} - 59^{\circ} = 31^{\circ} \).

Высота \( CH \) проведена из вершины прямого угла \( C \) к гипотенузе \( MN \). В прямоугольном треугольнике \( \triangle CHM \) угол \( \angle C = 90^{\circ} \), \( \angle M = 31^{\circ} \), следовательно, \( \angle HCM = 90^{\circ} - 31^{\circ} = 59^{\circ} \).

Биссектриса \( CD \) делит прямой угол \( \angle C \) на два равных угла. Таким образом, \( \angle NCD = \angle MCD = \frac{90^{\circ}}{2} = 45^{\circ} \).

Угол между высотой \( CH \) и биссектрисой \( CD \) равен разности углов \( \angle NCD \) и \( \angle NCH \) (или \( \angle HCM \) и \( \angle MCD \)).

Угол \( \angle NCH = 90^{\circ} - \angle N = 90^{\circ} - 59^{\circ} = 31^{\circ} \).

Искомый угол \( \angle DCH = |\angle NCD - \angle NCH| = |45^{\circ} - 31^{\circ}| = 14^{\circ} \).

Альтернативный способ:

Угол \( \angle MCD = 45^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике \( \triangle CHM \) \( \angle M = 31^{\circ} \), \( \angle CHM = 90^{\circ} \), следовательно, \( \angle HCM = 90^{\circ} - 31^{\circ} = 59^{\circ} \).

Угол \( \angle DCH = \angle HCM - \angle MCD = 59^{\circ} - 45^{\circ} = 14^{\circ} \).

Ответ: 14°.