Острые углы прямоугольного треугольника равны 84° и 6°. Найдите угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC (угол C = 90°), острые углы равны \( \angle A = 84° \) и \( \angle B = 6° \).

Пусть CH — высота, проведенная из вершины прямого угла C к гипотенузе AB. Тогда \( \angle ACH = 90° - \angle A = 90° - 84° = 6° \).

Пусть CM — медиана, проведенная из вершины прямого угла C к гипотенузе AB. Медиана в прямоугольном треугольнике равна половине гипотенузы, поэтому \( CM = AM = BM \). Треугольник CMB — равнобедренный, значит \( \angle MCB = \angle B = 6° \).

Угол между высотой CH и медианой CM равен разности углов \( \angle ACH \) и \( \angle MCB \) (или \( \angle BCH \) и \( \angle ACM \)).

Найдем \( \angle BCH = 90° - \angle B = 90° - 6° = 84° \) и \( \angle ACM = 90° - \angle A = 90° - 84° = 6° \).

Угол между высотой и медианой равен \( |\angle ACH - \angle MCB| = |6° - 6°| = 0° \) или \( |\angle BCH - \angle ACM| = |84° - 6°| = 78° \).

Более общий способ: Угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла, равен разности острых углов треугольника, деленной на 2: \( \alpha = \frac{|\angle A - \angle B|}{2} \).

Подставим значения: \( \alpha = \frac{|84° - 6°|}{2} = \frac{78°}{2} = 39° \).

Проверим: \( \angle C = 90° \). \( \angle ACB = \angle ACM + \angle MCB = 6° + 6° = 12° \) — это неверно, потому что \( \angle ACB = 90° \).

Из рисунка видно, что медиана CM делит угол C так, что \( \angle ACM = 90° - 84° = 6° \) и \( \angle MCB = 90° - 6° = 84° \). Это также неверно, так как \( 6° + 84° = 90° \).

Правильное решение:

Угол \( \angle ACH = 90° - 84° = 6° \) (как острый угол в прямоугольном треугольнике ACH).

Так как CM — медиана, то M — середина гипотенузы AB. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Значит, \( CM = AM = BM \). Треугольник CMB — равнобедренный, поэтому \( \angle MCB = \angle B = 6° \).

Угол между высотой CH и медианой CM равен \( \angle HCM = \angle HCB - \angle MCB \).

Найдем \( \angle HCB = 90° - \angle B = 90° - 6° = 84° \).

Тогда \( \angle HCM = 84° - 6° = 78° \).

Ответ: 78.