Остап Бендер проводит сеанс одновременной игры с любителями шахмат города Васюки на 10 досках. Перед началом с помощью жребия игроки определяют, кто играет белыми, а кто — чёрными на каждой из десяти досок. Во сколько раз вероятность события «Остап будет играть белыми на 2 досках» больше вероятности события «Остап будет играть белыми на 1 доске»?

Решение:

Пусть событие A — «Остап будет играть белыми на 1 доске».

Пусть событие B — «Остап будет играть белыми на 2 досках».

Всего 10 досок. На каждой доске два исхода: Остап играет белыми или чёрными. Таким образом, общее число исходов для 10 досок равно \( 2^{10} \).

Вероятность того, что Остап играет белыми на одной конкретной доске, равна \( P(\text{белыми на 1 доске}) = \frac{1}{2} \).

Вероятность того, что Остап играет белыми на 2 досках, равна \( P(B) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \).

Вероятность того, что Остап играет белыми на 1 доске (условие задачи не уточняет, на какой именно доске, но подразумевает, что он играет белыми на какой-то одной доске из десяти, и, соответственно, чёрными на остальных), может быть интерпретирована как вероятность выбора одной доски, на которой он играет белыми. Однако, задача корректнее ставится при сравнении вероятности игры белыми на двух досках против вероятности игры белыми на одной доске. Если имеется в виду вероятность того, что в результате жеребьевки Остапу выпадет играть белыми на ровно одной доске из десяти, то это биномиальное распределение:

\( P(k \text{ успехов из } n \text{ испытаний}) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} \)

Где \( n = 10 \) (количество досок), \( k = 1 \) (играет белыми на 1 доске), \( p = \frac{1}{2} \) (вероятность играть белыми на одной доске).

\( C_{10}^1 = \frac{10!}{1!(10-1)!} = 10 \)

\( P(A) = 10 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{10-1} = 10 \cdot \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^9 = 10 \cdot \frac{1}{2^{10}} = \frac{10}{1024} \)

Теперь найдем, во сколько раз вероятность события B больше вероятности события A:

\( \frac{P(B)}{P(A)} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{10}{1024}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1024}{10} = \frac{1024}{40} = \frac{256}{10} = 25.6 \)

Альтернативная интерпретация:

Вероятность события «Остап будет играть белыми на 1 доске» может также означать, что Остап играет белыми ровно на одной из досок (а на остальных — чёрными). Вероятность этого равна \( C_{10}^1 \times (1/2)^1 \times (1/2)^9 = 10 \times (1/2)^{10} = 10/1024 \).

Вероятность события «Остап будет играть белыми на 2 досках» означает, что Остап играет белыми ровно на двух досках. Вероятность этого равна \( C_{10}^2 \times (1/2)^2 \times (1/2)^8 = 45 \times (1/2)^{10} = 45/1024 \).

Во сколько раз вторая вероятность больше первой: \( \frac{45/1024}{10/1024} = \frac{45}{10} = 4.5 \).

Проверим формулировку: «Во сколько раз вероятность события «Остап будет играть белыми на 2 досках» больше вероятности события «Остап будет играть белыми на 1 доске»?».

Рассмотрим вероятность игры белыми на одной конкретной доске. Для одной доски вероятность игры белыми равна 1/2. Для двух досок вероятность игры белыми на обеих — (1/2)*(1/2) = 1/4.

Если задача подразумевает, что мы сравниваем вероятность того, что Остап играет белыми на *каких-то* двух досках, с вероятностью того, что он играет белыми на *какой-то одной* доске, то:

Вероятность играть белыми на 1 доске: \( P(A) = 1/2 \).

Вероятность играть белыми на 2 досках: \( P(B) = (1/2)^2 = 1/4 \).

В данном случае, \( P(A) > P(B) \), и отношение \( P(A) / P(B) = (1/2) / (1/4) = 2 \).

Однако, условие «на 10 досках» и «на 2 досках» предполагает, что мы рассматриваем выборку из 10 досок.

Вероятность того, что Остап будет играть белыми ровно на 1 доске из 10: \( P(X=1) = C_{10}^1 (1/2)^{10} = 10/1024 \).

Вероятность того, что Остап будет играть белыми ровно на 2 досках из 10: \( P(X=2) = C_{10}^2 (1/2)^{10} = 45/1024 \).

Отношение: \( \frac{P(X=2)}{P(X=1)} = \frac{45/1024}{10/1024} = \frac{45}{10} = 4.5 \).

Наиболее вероятная трактовка задачи:

Вероятность события «Остап будет играть белыми на 1 доске» означает, что Остап играет белыми на *любой* одной доске, например, на первой. \( P(\text{белыми на 1-й доске}) = \frac{1}{2} \).

Вероятность события «Остап будет играть белыми на 2 досках» означает, что Остап играет белыми на *любых* двух досках, например, на первой и второй. \( P(\text{белыми на 1-й и 2-й досках}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \).

Сравним вероятность того, что Остап играет белыми на 2 досках, с вероятностью того, что он играет белыми на 1 доске. Здесь важно то, что вероятность игры белыми на одной доске не зависит от вероятности игры белыми на другой доске.

Пусть \( P_1 \) — вероятность того, что Остап играет белыми на 1 доске. \( P_1 = \frac{1}{2} \).

Пусть \( P_2 \) — вероятность того, что Остап играет белыми на 2 досках. \( P_2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \).

Сравниваем \( P_2 \) с \( P_1 \).

\( \frac{P_2}{P_1} = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{4} \times 2 = \frac{1}{2} \).

Это значит, что вероятность играть белыми на 2 досках *меньше* в 2 раза, чем вероятность играть белыми на 1 доске.

Если же задача сформулирована как «Во сколько раз вероятность того, что Остап будет играть белыми ровно на 2 досках из 10, больше вероятности того, что он будет играть белыми ровно на 1 доске из 10»:

\( P(\text{ровно 1 белая}) = C_{10}^1 \times (1/2)^{10} = 10 \times (1/1024) = 10/1024 \).

\( P(\text{ровно 2 белые}) = C_{10}^2 \times (1/2)^{10} = 45 \times (1/1024) = 45/1024 \).

Отношение: \( \frac{45/1024}{10/1024} = \frac{45}{10} = 4.5 \).

Учитывая формулировку «Вероятность события «Остап будет играть белыми на 2 досках» больше вероятности события «Остап будет играть белыми на 1 доске»», и общее количество досок 10, наиболее корректным является сравнение вероятностей выбора именно такого количества белых досок.

Вероятность события «Остап будет играть белыми ровно на 1 доске из 10» равна \( P(X=1) = C_{10}^1 \times (\frac{1}{2})^{10} = 10 \times \frac{1}{1024} = \frac{10}{1024} \).

Вероятность события «Остап будет играть белыми ровно на 2 досках из 10» равна \( P(X=2) = C_{10}^2 \times (\frac{1}{2})^{10} = 45 \times \frac{1}{1024} = \frac{45}{1024} \).

Найдем отношение этих вероятностей:

\( \frac{P(X=2)}{P(X=1)} = \frac{45/1024}{10/1024} = \frac{45}{10} = 4.5 \).

Ответ: Вероятность события «Остап будет играть белыми на 2 досках» в 4.5 раза больше вероятности события «Остап будет играть белыми на 1 доске».